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Analogia elettrotermica

Nello studio della trasmissione del calore, nelle tre forme possibili conduzione, convezione,  irraggiamento si perviene sempre, a regime, per quanto riguarda il flusso di potenza termica attraverso i corpi, ad una espressione del tipo

R*Q=D (1)

in cui Q rappresenta la potenza termica trasmessa, DT la differenza di temperatura tra gli estremi della la sezione di controllo del flusso. 

Essa è formalmente identica  alla legge di Ohm

R*I=DV  

per cui la R della (1) viene per questo chiamata resistenza termica.

Data la facilità con cui si possono combinare le resistenze elettriche tra loro, secondo i concetti di serie e parallelo, è naturale pensare di sfruttare tali metodi nella trasmissione del calore.

Le grandezze che si corrispondono nell'analogia sono riassunte nella seguente tabella

Elettricità

Calore

DV

V=J/C

differenza di potenziale

DT

K

differenza di temperatura

I

A=C/s

intensità di corrente

Q=J/s

W

potenza termica

R

ohm=V/A

resistenza elettrica

R

K/W

resistenza termica

(1/g)*l/S=r*l/S

(1/l)*l/A
conduzione
1/(h*A) convezione
1/(hi*A) irraggiamento

L'analogia può essere così espressa:

In un corpo materiale l'intensità di corrente fluisce dal punto a potenziale più alto al punto a potenziale più basso, è proporzionale alla differenza di potenziale e dipende dalla natura del corpo materiale. La costante di proporzionalità corrispondente al rapporto tra la differenza di potenziale e l'intensità di corrente è chiamata resistenza elettrica.

sostituendo le parole intensità di corrente con potenza termica e potenziale con temperatura, elettrico con termico si ha:

In un corpo materiale la potenza termica fluisce dal punto a temperatura più alta al punto a temperatura più bassa, è proporzionale alla differenza di temperatura e dipende dalla natura fisica del corpo. La costante di proporzionalità corrispondente al rapporto tra la differenza di temperatura e la potenza termica è chiamata resistenza termica.

Se ci si riferisce al fenomeno della conduzione termica l'analogia si estende anche al modo in cui la resistenza elettrica e quella termica dipendono dalle proprietà fisico-geometriche del corpo materiale. Entrambe sono direttamente proporzionali alla lunghezza del corpo materiale misurata nel senso del flusso, ed inversamente proporzionale alla sezione trasversale. La costante di proporzionalità è chiamata resistività.

Le figure illustrano l'analogia.

Conduzione termica attraverso una parete piana

Conduzione Elettrica in un conduttore prismatico

T1 e T2 sono le temperature della sezione di ingresso e della sezione d'uscita della potenza termica Q.

L è lo spessore della parete, A l'area della sua superficie, l la conducibilità termica.

V1 e V2 sono i potenziali della sezione di ingresso e della sezione d'uscita dell'intensità di corrente I.

L è la lunghezza del prisma, A l'area della sua sezione trasversale, g la conducibilità elettrica.

Nel caso della convezione la differenza di temperatura da considerare è quella tra la temperatura della superficie  e quella del fluido che la la lambisce a sufficiente distanza dalla parete, quindi DT= TS-Tfluido. La resistenza termica diventa allora

R=(1/h)*(1/A)

in cui h  (W/m2K) è il coefficiente di scambio termico convettivo ed A l'area della superficie.

Anche nel caso dell'irraggiamento si perviene al concetto di resistenza termica. La differenza di temperatura da considerare è quella tra la temperatura della superficie del corpo considerato e quella dei corpi circostanti a temperatura ambiente. quindi DT= TS-Tamb

 La resistenza termica si calcola con l'espressione

R=(1/hirr)*(1/A)

dove

hirr=es(TS2+Tamb2)(TS+Tamb) (W/m2K)

è il coefficiente di scambio termico per irraggiamento.

e: è l'emissività della superficie. L'emissività di una superficie è il rapporto tra la radiazione emessa dalla superficie e la radiazione emessa dal corpo nero alla stessa temperatura. ( legge di Stefan-Boltzmann En=s*T4 W/m2)

s: 5.67*10-8 W/(m2K4) costante di Stefan-Boltzmann.

E' opportuno in questo caso osservare che la resistenza termica dipende dalle temperature della superficie e dell'ambiente.

ESEMPIO

La figura che segue mostra il flusso di una potenza termica da un ambiente con un fluido a temperatura T1 verso un ambiente con un fluido a temperatura T2, attraverso una parete, l'area della cui superficie è A, composta da 6 diversi materiali. Si fa l'ipotesi che il flusso sia monodimensionale (cioè avvenga unicamente lungo l'asse x, orizzontale: ogni superficie orizzontale è adiabatica). I rettangoli blu sono superfici perfettamente isolanti dal punto di vista termico.

 

 

La struttura termica può essere schematizzata con la rete elettrica resistiva rappresentata.

Si ha:

Req=Rc1+R1+(R2+R4)*R3/(R3+R2+R4)+R5+R6+Rc2.

Q=(T1-T2)/Req

con

Rc1=1/(h1*A); Rc2=1/(h2/A) resistenze convettive

R1=(1/l1)*(a/A); R2=(1/l2)*((b+c)/A2); R3=(1/l3)*((b+c)/A3); R4=(1/l4)*(c/A2); R5=(1/l5)*(d/A); R6=(1/l6)*(e/A); resistenze conduttive

Le superfici verticali sono isoterme (-> equipotenziali) ed il valore della loro temperatura si trova applicando la legge di Ohm:

TA=T1-Rc1*Q

TB=TA-R1*Q

TC=TB-R2*Q1

TD=TC-R4*Q1

Q1=Q*R3/(R3+R2+R4)

TE=TD-R5*Q

TF=TE-R6*Q

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Commenti e note

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di Francesco2,

Siete riusciti ad illuminarmi laddove neanche wikipedia ed il libro di testo(universitario)avevano fallito. Grazie electroportal!

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di ,

Laura,
la tua ultima formula è dimensionalmente errata. Per trovare Q1 si deve fare Q-Q2 e basta.
La formula scritta nel testo è corretta: basta applicare la regola del partitore di corrente (in questo caso Q) al parallelo di R3 con la serie R2+R4.

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di laura caruso,

Q1=Q*R3/(R3+R2+R4) non mi ritorna la formula sopra riportata, Q1 è il flusso termico che circola in R2 e R4 Q=Q1+Q2 ove Q2 è il flusso circolante in R3. Per determinare Q1 devo fare Q-Q2/(R2+R4)

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di ,

francesco,
dimensionalmente non mi pare sia errata: l'emissività è un numero puro, la costante di Stefan-Boltzmann è W/(K4*m2), la dimensione del prodotto tra le parentesi è K3; il risultato dimensionale è: W/(K*m2)

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di Francesco,

L'equazione hirr sembra sbagliata, o, quantomeno, non è dimensionalmente corretta.

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