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Filtri attivi

Premesse

Prima di addentrarci nell'analisi dettagliata dei filtri attivi, giova tentare di dare una definizione al termine filtro.

Un filtro un doppio bipolo che, una volta inserito fra generatore ed utilizzatore, fornisce a quest'ultimo la massima potenza quando la frequenza del segnale applicato all'entrata compresa fra uno o pi intervalli di frequenze, ciascuno dei quali prende il nome di banda passante, mentre impedisce la trasmissione del segnale nel campo, o nei campi, di frequenze complementari ai precedenti, ciascuno dei quali prende il nome di banda attenuata.

In relazione al comportamento in frequenza presentato dei filtri stessi, possibile effettuare una prima distinzione: i tipi pi diffusi sono i seguenti:

      filtro passa basso [ low pass - LP ]

      filtro passa banda [ band pass - BP ]

      filtro passa alto [ high pass - HP ]

      filtro a reiezione di banda [ band rejection - BR ]

      filtro passa tutto [ all pass - AP ].

Il filtro Passa Basso presenta la banda passante per frequenze da 0 a f0, mentre la banda attenuata va da f0 all'infinito.

Il filtro Passa Banda ha la banda attenuata da 0 a f1, passante da f1 a f2 ed ancora attenuata da f2 all'infinito.

Il filtro Passa Alto palesa la banda attenuata da 0 a f0 e passante da f0 all'infinito.

Il filtro a Reiezione di Banda o "filtro elimina banda" il complementare del filtro passa banda, pertanto presenter la banda passante da 0 a f1, attenuata da f1 a f2, ed ancora passante da f2 all'infinito.

Il filtro Passa Tutto ha la propriet di non variare il modulo della sua funzione di trasferimento al variare della frequenza, ma presenta una rotazione di fase di 360 attorno ad una data frequenza.

Senza addentrarci minimamente nella complessa teoria che sta alla base della sintesi dei filtri passivi, ci basti pensare che, normalmente, un filtro passivo presenta un numero di induttori circa pari al numero di condensatori che lo compongono. Gli induttori sono i componenti che danno la maggior quantit di problemi sia nella loro costruzione che nel loro utilizzo, infatti sono generalmente ingombranti, costosi, scarsamente integrabili e presentano una buona dose di parametri parassiti che allontanano il funzionamento pratico da quanto ci si attenda dal calcolo teorico del filtro. Si quindi cercato di orientarsi su celle che utilizzino solo resistori e condensatori, tentando di ovviare all'assenza di induttori con l'uso di componenti attivi, prevalentemente amplificatori operazionali. Simili circuiti vengono generalmente definiti Circuiti RC Attivi.

In questo capitolo affronteremo inizialmente il problema della simulazione di induttori, per poi addentrarci nello studio di diverse soluzioni circuitali per la realizzazione dei vari tipi di filtro.

Convertitore di immettenza generalizzato (gic)

Per il circuito in figura, vogliamo calcolare i parametri di catena A,B,C,D: tali parametri sono i coefficienti delle incognite del sistema:

 

Per valutare AV1/V2 con I2=0 basta osservare che, nell'ipotesi di operazionali ideali, non essendoci caduta di tensione fra i morsetti invertente e non invertente, l'ingresso equipotenziale all'uscita, pertanto V1=V2 e quindi A=1. Per il calcolo relativo a BV1/I2 con V2=0, per lo stesso motivo precedente, anche V1 sar nullo, e pertanto B=0. Per quanto concernente CI1/V2 con I2=0, ovvero con l'uscita a vuoto, basta notare che, essendo l'operazionale ideale ed essendo nulla la corrente I2, sar nulla anche la corrente che circola in Y5. Ci vuol dire che sar nulla la caduta di tensione ai capi di Y5 e non essendoci differenza di potenziale fra i morsetti invertente e non invertente dell'operazionale, non ci sar caduta di tensione nemmeno su Y4, il che si traduce nell'asserzione che anche la corrente che circola in Y4 dovr essere nulla. Non entrando corrente negli operazionali ed essendo nulla la corrente in Y4, dovr essere nulla anche la corrente che circola in Y3 e quindi, su di essa, non ci sar caduta di tensione. Tenendo presente che essendoci un potenziale nullo fra i due morsetti dell'operazionale, sar nulla la caduta su Y2 e quindi sar nulla anche la corrente che vi circola. Non entrando corrente nel morsetto non invertente dell'operazionale, se ne deduce che anche I1 sar nulla, e quindi C=0.

Calcoliamo ora DI1/I2 valutato con V2=0, ovvero con l'uscita chiusa in corto circuito, cos come da figura. Essendo l'uscita chiusa in corto circuito, la tensione ai nodi 1, 2 e 4 sar nulla, in quanto V2 nulla a causa del corto circuito, V4 nulla in quanto ai morsetti di ingresso di un operazionale non cade tensione, e V1 pari a 0 V per lo stesso motivo. A questo punto non resta che risolvere le equazioni ai nodi 3 e 5, ricordando, come sempre, che essendo gli operazionali ideali, non entra corrente nei loro morsetti di ingresso.

[equazioni rispettivamente ai nodi 3 e 5]

Inoltre

Risolvendo il sistema, otteniamo

e

da cui, sostituendo,

e quindi

.

Quindi il sistema risulta essere:

 

Se ora carichiamo l'uscita con un'impedenza ZL, osservando che vale la relazione

ovvero

calcoliamoci l'impedenza di ingresso Zing che si vede guardando fra il morsetto 1 e la massa; essa sar pari a

, cio:

Semplificando V2 e facendo il m.c.m. potremo scrivere che:

Sostituendo i nostri parametri di catena, potremo scrivere che nel caso in analisi, l'impedenza di ingresso Zing vale:

Resta evidente, a questo punto, che se al posto di Y3 mettessimo un condensatore di capacit C3 e al posto delle restanti ammettenze Yi mettessimo altrettante resistenze di valore Ri, la Zing diventerebbe:

che ha le dimensioni, come si pu ben notare, di un'impedenza con un capo a massa. Lo stesso ragionamento vale se sostituissimo Y5 con una capacit di valore C5 e, come prima, tutte le altre ammettenze con delle resistenze. In questo caso otterremmo:

I circuiti relativi sono riportati in figura.

Con questo tipo di circuito, siamo quindi in grado di simulare induttanze ideali con un capo a massa. facile dimostrare, e lo lasciamo all'attento lettore, che per realizzare induttanze fluttuanti, cio sospese, ovvero senza capi a massa, sar necessaria la connessione di due induttanze ideali come indicato nella figura che segue.

possibile, con giuste sostituzioni, realizzare, a questo punto, circuiti che abbiano impedenza di ingresso proporzionale a p. Ricordando che p jw e che quindi p = -w, potremo avere dispositivi con impedenza puramente reale e proporzionale a -w. Se l'impedenza puramente reale, allora presenter un comportamento resistivo negativo. Questi circuiti sono stati, da Bruton, denominati "FDNR", acronimo di Frequency Dependent Negative Resistance, ovvero di resistenze negative dipendenti dalla frequenza. Si ottengono cos FDNR detti di tipo D o di tipo E a seconda che siano proporzionali rispettivamente a 1/p o a p. Nel primo caso otterremo dei "Supercondensatori", mentre nel secondo caso avremo dei "Superinduttori". banale, sostituendo nell'equazione gi calcolata

al posto delle ammettenze indicizzate le reali ammettenze dei componenti circuitali, dimostrare che, nei supercondensatori, Y(p) sar proporzionale a p e, nei super induttori, sar Z(p) ad essere proporzionale a p. La costante di proporzionalit sar un numero sempre positivo che prende il nome di "D" nel caso dei supercondensatori e di "E" nell'altro caso. D ha le dimensioni di Farad per Secondo, mentre E si misura in Henry per Secondo, come per altro, facile dimostrare.

I circuiti che si ottengono sono rappresentati nelle figure seguenti:

Entriamo ora nell'analisi pi dettagliata dei filtri attivi. In questo capitolo, ci soffermeremo soprattutto sui filtri del secondo ordine, ovvero su filtri che hanno a denominatore un polinomio di secondo grado nella forma:

,

in cui il modulo dei poli complessi, mentre il fattore di qualit del filtro, pari all'inverso del fattore di smorzamento d Vale la pena di puntualizzare brevemente il significato fisico di w e di q. Risolvendo l'equazione sopra riportata, risulter evidente la comparsa di una coppia di poli, non necessariamente puramente reali, ma complessi coniugati. La distribuzione dei poli sul piano gaussiano sar quindi, genericamente, quella riportata in figura:

Sia quindi e con s1 reale e w1 reale e positivo. A questo punto, qp e wp sono cos definiti:

e

da cui facile dedurre che

evidente osservare che wp il modulo dei poli complessi, mentre qp risulta essere pari a

.

Si pu, cos, notare come il q cresca da 0.5, quando le radici sono reali, fino a tendere a se le radici sono puramente immaginarie.

Il polinomio di secondo grado che genera una simile coppia di poli sar:

ed il generico polinomio non monico di secondo grado

avr

ed

Volendo chiamare s1 e s2 le radici reali negative del trinomio monico, lo stesso acquister la forma di

.

In questo caso

ed

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Commenti e note

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di ,

non mi so muovere tanto bene qui se mi manda il link dove posso chiedere consigli mi fa un gran favore

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di ,

La parte del sito in cui dialogare è il forum

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di ,

salve non so se mi trovo nella parte di dialogo che mi farebbe comodo vorrei creare e montare dei filtri passa basso e passa alto nel mio piccolo impianto car audio ma non so da dove cominciare a studiare la situazione cosa e come posso fare per studiare e montare il circuito con i vari componenti? vorrei imparare a studiarle io non che me le diano gli altri non so ci sono programmi? procedimenti specifici sono molto appassionato ma e 'l'unica cosa che non ho mai capito

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di Michele,

Come mai la lezione non si vede? Se vado nell'indice si vede il testo se entro no... l'articolo è stato eliminato?

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di Melania,

Sapresti indicarmi un libro che spieghi nel dettaglio i filtri e come dimensionare i circuiti. Io sarei particolarmente interessata ai filtri di Bessel di ordine superiore al secondo. Grazie

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di Mek,

il sito è fatto bene ma gli schemi sono il suo problema

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di Perix,

Davvero ben dettagliato, mancherebbe solo di una parte su alcuni cenni storici e principali usi dei filtri attivi....cmq davvero svolto correttamente...

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