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Generatori linearmente dipendenti e Thevenin

Premessa

Ho letto le righe di presentazione della nuova Rubrica di Electroportal.net "Domande & Risposte" di cui condivido il proposito, anche perché, proprio alcuni giorni fa, ho avuto l'occasione per accorgermi come possa essere frustrante la ricerca di un'informazione utile.

Avevo la necessità di comprendere come calcolare il bipolo equivalente attivo visto dai terminali di una rete quando al suo interno siano presenti generatori dipendenti di tensione o di corrente.

Premetto che sono uno studente e questo problema si è presentato nel corso della mia preparazione per l'esame di Elettrotecnica. Mi sono trovato di fronte a dubbi che il testo non chiariva, o le cui spiegazioni io non capivo: stranamente nel mio testo teorico mancavano esercizi di applicazione.

Ho allora deciso di cercare sulla rete, scrivendo in varie forme le parole del titolo su un motore di ricerca (uso di preferenza Google).

Ma oltre a trovare che i vari corsi di Elettrotecnica universitari inserivano al loro interno l'argomento, continuavo a non trovarne né lo sviluppo teorico né qualche applicazione.

In italiano ho  trovato qualcosa di teorico nel sito di Sandro Petrizzelli, che voglio citare come esempio di siti che si ha il piacere di scoprire (http://digilander.iol.it/sandry1/index.htm ), ed in inglese utili applets con semplici esercizi proposti (electric circuits workout). Trovando nel sito Electroportal.net un buon numero di lezioni chiare,  che purtroppo però non trattavano il mio problema, ho deciso di interpellare lo staff che mi ha aiutato nel risolvere i miei dubbi.

Ho allora pensato di proporre questa breve lezione con la soluzione di un paio degli esercizi trovati nel sito in inglese citato, nella speranza di poter fare cosa gradita ed utile allo staff del sito ed ai suoi visitatori.

Generatori linearmente dipendenti e teorema di Thevenin.

I generatori lineari dipendenti (o pilotati o controllati) sono essere classificati in quattro configurazioni:

  1. gtct: generatore di tensione controllato in tensione: E=AU.UAB
  2. gtci: generatore di tensione controllato in corrente: E=R.I
  3. gcct: generatore di corrente controllato in tensione: I= G.UAB
  4. gccc: generatore di corrente controllato in corrente: I= AI.I

Si usa generalmente il simbolo romboidale invece della circonferenza per evidenziare graficamente la differenza esistente tra i generatori indipendenti e quelli dipendenti.

In questi ultimi la tensione ai morsetti per i generatori di tensione e la corrente erogata per i generatori di corrente non sono costanti ma sono una funzione lineare di un'altra grandezza della rete, tensione tra punti o corrente in un ramo della rete, detta grandezza di controllo.

I coefficienti di proporzionalità corrispondono ad una amplificazione (o attenuazione) di tensione (AV), ad una resistenza di trasferimento (R), ad una conduttanza di trasferimento (G), ad una amplificazione (o attenuazione) di corrente (AI).

Nella soluzione della rete con i principi di Kirchhoff non nascono sostanzialmente grossi problemi: basta in effetti considerarli normali generatori sostituendo la loro f.e.m. o corrente con la funzione che le descrive.

I dubbi possono sorgere quando si voglia applicare la sovrapposizione degli effetti o la resistenza equivalente di Thevenin (o di Norton) vista da due morsetti della rete.

Bisogna tenere presente che i generatori pilotati non possono essere eliminati come i generatori indipendenti (cortocircuitati quelli di tensione, aperti quelli di corrente) ma occorre mantenerli inalterati. In generale si imposterà allora un sistema di equazioni,  con il metodo delle correnti di maglia ( comodo ad esempio per il calcolo della corrente di Norton, Ino) o quello dei potenziali di nodo (comodo per il calcolo della tensione di Thevenin, Eth).

La Resistenza di Thevenin (e di Norton) sarà allora il rapporto tra la Eth e la Ino.

Se si desidera un calcolo immediato della resistenza  Rth (o Rno) si ricorre al metodo di calcolo generale, basato sul concetto di resistenza equivalente, applicando un generatore indipendente arbitrario di tensione tra i terminali, dopo aver cortocircuitato tutti e solo i generatori indipendenti di tensione ed aperti i rami con tutti e solo i generatori indipendenti di corrente interni alla rete. Se ne calcola la corrente erogata e si esegue il rapporto tra la sua tensione del generatore e la corrente  erogata. Se quest'ultimo calcolo è condotto con il metodo illustrato nella lezione del sito sulla resistenza equivalente, si perviene al rapporto di due matrici.

E' da osservare che in questi circuiti la Rth può assumere valori negativi, il che fa capire che all'interno della rete sono in realtà presenti elementi attivi che danno luogo ad una erogazione di potenza.

Le precedenti considerazioni parlano di resistenza e gli esempi di calcolo che seguono sono relativi a circuiti in corrente continua. Ma tutto rimane praticamente inalterato, a parte la maggior complessità dei calcoli,  se alla resistenza sostituiamo l'impedenza, operando ovviamente con i numeri complessi.

Gli esempi sono i due circuiti che vengono proposti nelle applets del sito in inglese:

Esercizio n. 1

Determinare il generatore equivalente di Thevenin.

Il simbolo romboidale indica il gtci la cui resistenza di trasferimento vale R=3. La grandezza di controllo è la corrente Ia nella resistenza di 9 ohm.

CALCOLO Eth

Eth= 9.Ia

Ia=(10+3.Ia)/(12+9) (II p.d.K)

Da cui

21.Ia-3.Ia=10

Ia=10/18=5/9 A

Quindi

Eth=5 V

Calcolo Rth

Dopo aver cortocircuitato il generatore indipendente di tensione, immaginando di applicare un generatore indipendente arbitrario di tensione tra A e B, es UAB= 1 V, utilizzando il metodo delle correnti di maglia (scelte in senso orario entrambe) imposto il sistema

Ia= i1- i2

21.i1- 9.i2= 3.Ia

-9.*i1 + 19.i2= - 1

Sarà

Rth= UBA/ i2 = - 1 / i2

Sostituendo Ia nella seconda

21.i1-9.i2-3.i1+3.i2= 0

si perviene al sistema

18.i1-6.i2=0

-9.i1+19.i2= -1

Da cui

i2= -18/(18.19-6.9)= -18/288= - 1/16

Quindi

Rth= 16 ohm

Esercizio N.2

Determinare il generatore equivalente di Norton (Isc=Ino, Rth=Rno) per la rete di figura.

Il simbolo romboidale è un gcct e la grandezza di controllo è indicata con VA, tensione tra il punto comune alle resistenze di 4 e 6 ohm e la massa.

CALCOLO di Ino

Cortocircuitando i morsetti si ha:

Ino= - 24/10 + 1.VA

VA= (24/10).4-24= -14,4 V

Quindi

Ino=- 2,4-14,4= -16,8 A

Calcolo Rno

Cortocircuitando il generatore indipendente ed applicando ai morsetti una tensione arbitraria di 1 V rispetto a massa, si ha:

VA= 4/10=0,4 V.

La corrente erogata dal generatore applicato di 1 V è:

I=1/10-1.VA=0,1-0,4 A = -0,3 A

Si ha allora

Rth=1/I= -3,33 Ohm

 

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Commenti e note

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di ,

il gtci non dovrebbe chiamarsi gtcc per mantenere una coerenza con gli altri nomi?

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di ,

è fatto più chiaro qua che sul libro.. !

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di Carmine,

esempio semplice ma concreto: è riuscito a risolvere il problema andando al nocciolo della questione

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di Lau!!!,

GRAZIE!!!Salvata in extremis da quest'articolo!!!

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di ,

Ragazzi, penso stiate discutendo per niente. Roberto Pedriello sta guardando a sinistra. E' evidente allora che i2 scelta com'è entra da B. L'altro Roberto sta guardando a destra, per cui la stessa corrente entra da A.

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di Roberto Pedriello,

La scelta di i2 è arbitraria: è un'incognita. Se si sceglie oraria si entra da B e non capisco come si possa dire il contrario: nella precedente nota ho inserito il disegno per farlo vedere e non mi pare ci siano ambiguità. Anche la polarità del generatore ideale di tensione inserito tra A e B è abitraria. Nel caso specifico è stato scelto in modo che UAB sia positiva, quindi con il positivo in A. La legge di Ohm per la resistenza equivalente vista da AB, rispettando la convenzione di utilizzatore, richiede di considerare la corrente entrante dal punto a potenziale più elevato, che è A per la scelta fatta del generatore. La corrente che entra in A è l'opposta di quella scelta arbitrariamente, cioè -i2. Quindi si scriverà Rth=UAB/(-i2)che equivale -UAB/i2, cioè UBA/i2, che sarebbe stata immediatamente scritta se il generatore ideale di tensione fosse stato scelto con il polo positivo in B.

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di Roberto,

In effetti la mia correzione è giusta se si ragiona in questo modo:alla porta AB collego un generatore ideale di tensione Uab col + in A ed il - in B.Così facendo la corrente i2 circolante in senso orario nella maglia di dx entra in A ed esce da B in disaccordo con la convenzione del generatore che prevede verso di corrente e tensione concordi.Per questo si pone Rth=-Uab/i2.Se la tensione invece applicata ai morsetti AB ha in A il - ed in B il + allora,fermo restando che i2 entra in A ed esce da B,la tensione e la corrente sono concordi(in accordo con la convenzione)e quindi scriviamo Rth=Uba/i2(non vi è il meno ma i pedici di U sono scambiati,il primo indica il + il secondo il -).

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di Roberto Pedriello,

Direi proprio di no stavolta, per cui sono costretto a correggere la tua correzione... "...avendo scelto il verso orario per la corrente i2, questa entra da B e non da A".
Per questo la legge di Ohm doveva essere scritta Rth= - UAB / i2 = UBA / i2

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di Roberto,

Correggo la tua affermazione:"...avendo scelto orario il verso di i2 questa entra da A e non da B".

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di Roberto Pedriello,

In effetti hai ragione. La resistenza è positiva. L'errore (che ora ho chiesto di correggere alla redazione di EP) era nell'espressione di calcolo di Rth: occorreva anteporvi il segno meno. Avendo scelto orario il verso di i2 questa entra da B e non da A per cui al numeratore andava UBA cioè l'opposto di UAB.

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di Roberto,

Seguendo il metodo delle correnti di maglia mi viene Rth=16 Ohm(positiva quindi!). Considerando le correnti di maglia i1(maglia di sx)e i2(maglia di dx)entrambe in senso antiorario abbiamo contrariamente a quello scritto Ia=i2-i1 Scrivendo le 2[rami-(nodi-1)]equazioni indipendenti abbiamo: maglia di sx (12+9)*i1-9*i2=-3*Ia maglia di dx (10+9)*i2-9*i1=Uab Calcolando tramite Rth=Uab/i2 ottengo una resistenza positiva. Sono io che sbaglio o tu?E in cosa?

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di Roberto Pedriello,

Sono le correnti fittizie delle due maglie. i1 della maglia di sinistra, i2 della maglia di destra. Non sono segnate purtroppo sul disegno, ma nominate come correnti di maglia nel testo. Conoscendo il metodo di Maxwell delle correnti di maglia non dovrebbe essere difficile immaginarle. Sono considerate in senso antiorario.

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di Roberto,

Scusa ma non capisco dove sono i1 ed i2 nel primo esercizio

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di ,

La differenza, ammesso che non ci sia errore di procedimento, c'è perché i procedimenti di calcolo sono diversi, se non si sta attenti alle approssimazioni che si fanno. Se aumenti il numero di cifre significative che usi nelle approssimazioni vedrai la differenza diminuire sensibilmente

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di Edo,

Ma è normale che il risultato di una corrente calcolato con il metodo di Thevenin venga maggiormente approssimato rispetto ai p.d.k.?Ad es ho trovato una corrente che mi viene 0,976A con Thevenin e 1.132A con i p.d.k.

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di tury link,

molto interessante il post...era quello che stavo cercando...! nel sito www.michelangelolongo.net vi sono degli esercizi di uno studente che grazie a questa pagina ho compreso del tutto...

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di Roberto Pedriello,

Se è dipendente significa che esiste ula legge che lega la sua fem (o corrente) alla fem (o corrente) del generatore indipendente. In questa espressione si sostituisce il valore della fem ( o corrente) del generatore indipendente, che valgono entrambe zero quando il generatore indipendente viene disattivato.

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di Giuseppe,

Salve la cosa che vorrei chiedere è questa.Ma nel caso in cui un generatore è dipendente direttamente da un altro generatore indipendente( il quale quindi verebbe CC o CA) cosa succede al generatore pilotato?Viene Scartato???

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di L. Flow,

Domanda: nel caso limite in cui si deve fare l'equivalente di solo un generatore pilotato di corrente in parallelo con una resistenza, (immaginiamo di avere nel circuito nell'ordine, generatore, resistenza, morsetti da cui ricavare l'equivalente, e la quantità pilotante esterna), il risultato è la sola resistenza equivalente oppure posso ricavare un circuito con generatore pilotato di tensione e resistenza in serie?

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di il_blondo,

GRANDISSIMI!!!! cerca e cerca su google ma niente! Neanche la santa Wikipedia Grandissimi

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di Roberto Pedriello,

Reth...basta liberare dal denominatore l'espressione precedente!

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di franc,

sono tre volte che ripeto un esame perché non avevo questo materiale

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di reth,

ottima pagina e ottime info. un grazie all'autore. potreste per caso integrare gli esercizi proposti spiegando tutti i calcoli? per esempio non capisco da cosa viene fuori la formula 21*Ia-3*Ia=10 nel primo esercizio.

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di ernia,

speriamo mi aiuti a superare l'esame di dispositivi elettronici di domani!

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di Matteo,

Grazie..era proprio quello che mi serviva..!

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di Mr.Master,

GRANDISSIMO! Proprio utile! :-)

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di Carlo,

sono uno studente anche io :-) questo articolo era proprio quello che stavo cercando ! non capisco perche ci siano cosi poche informazioni nella rete riguardo questo argomento.

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