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Il problema termico

1 - GENERALITÀ

In ogni complesso nel quale avviene una trasformazione di energia (per esempio generatore elettrico o motore elettrico) o semplicemente un transito di energia (per esempio trasformatore elettrico o linea elettrica) si ha sempre che l'energia uscente (Wu) è minore dell'energia entrante (We). La differenza fra l'energia entrante e quella uscente rappresenta l'energia perduta (Wp).

 

 

 

 

Facendo riferimento all'unità di tempo, in luogo delle energie si possono considerare le potenze, per cui si ha:

 

 

Il rendimento del complesso risulta definito da:

L'energia perduta, trasformandosi in energia termica, determina una sopraelevazione di temperatura  del complesso rispetto alla temperatura ambiente. A regime la temperatura  raggiunta dal complesso dovrà, per ragioni di sicurezza riguardanti i ma­teriali isolanti, essere inferiore o al limite uguale alla tempe­ratura massima  che tali materiali possono sopportare.

Occorre cioè che risulti:

 

Lo studio del problema termico può essere suddiviso in tre parti:

1.      Generazione del calore

2.      Trasmissione del calore

3.      Asportazione del calore

 

2 - GENERAZIONE DEL CALORE

In una macchina elettrica si genera calore a seguito delle perdi­te che si manifestano in essa durante il suo funzionamento.

Le principali perdite che si hanno nelle macchine elettriche sono:

Perdite nel ferro (per isteresi e correnti parassite)

Esse possono essere espresse con una relazione del tipo:

dove:

- Pfe = perdite nel ferro (W)

- ws  = cifra di perdita delle lamiere magnetiche (W/Kg)

- BM  = induzione (T)

- f   = frequenza (Hz)

- Gfe = peso del ferro (Kg)

Per macchine funzionanti a flusso costante (trasformatori, motori asincroni) esse sono indipendenti dal carico.

Perdite nel rame (Per effetto Joule)

Possono essere espresse con una relazione del tipo:

dove:

- Pcu = perdite nel rame (W)

- d   = densità di corrente (A/mm²)

- Gcu = peso del rame (Kg)

 

Esse dipendono generalmente dal carico.

Perdite meccaniche (per attrito e ventilazione)

Queste perdite si hanno ovviamente solo nelle macchine rotanti. Quelle per attrito sono proporzionali alla velocità angolare, quelle per ventilazione al cubo della stessa velocità; possono essere e­spresse con una relazione del tipo:

 

dove:

-         Pm = perdite meccaniche (W)

-         n  = velocità angolare (giri/min)

Per quelle macchine funzionanti a velocità costante (macchine sincrone) o praticamente costante (macchine asincrone) sono indi­pendenti dal carico.

·        Perdite addizionali

Tali perdite non sono di facile valutazione teorica e dipendono principalmente da:

-         distorsioni di flusso magnetico;

-         distribuzione non uniforme della corrente nei conduttori;

-         correnti parassite nelle masse metalliche vicine agli avvolgi­menti.

Proprio per il fatto che tali perdite sono di difficile valuta­zione teorica,  per alcune macchine vengono  fissate dalle  Norme CEI (per le macchine asincrone, per esempio, esse vengono con­ven­zionalmente fissate pari allo 0,5% della potenza nominale).

3 - TRASMISSIONE DEL CALORE

La trasmissione del calore nelle macchine elettriche avviene se­condo le tre tipiche forme:

-         Trasmissione per conduzione

-         Trasmissione per convezione

-         Trasmissione per irraggiamento

 

Conduzione

Tale forma di trasmissione del calore è tipica dei corpi solidi (sebbene essa avvenga anche in seno ai liquidi e ai gas).

Essa avviene senza alcun movimento di materia, ed è il caso ti­pico della trasmissione del calore fra due superfici di un corpo solido.

 

                                                     

-         Pp = potenza trasformata in calore che  si trasmette da una  superficie all'altra in un secondo (W)

-         S = superficie attraverso la quale avviene la trasmissione (m²)

-         d = distanza fra le due superfici (m)

-         l = conduttività termica del corpo (W/m °C)

-         Dq  = differenza di temperatura fra le due superfici (°C)

Nelle macchine elettriche tale tipo di trasmissione del calore si ha all'interno dei materiali attivi (avvolgimenti e nuclei magne­tici). 

Convezione

È caratteristica dei corpi liquidi e gassosi. Essa avviene con movimento di materia all'esterno delle sorgenti termiche: in tal caso il calore si propaga perché parti del fluido caldo si spostano verso zone di fluido freddo mescolandosi e sostituendosi ad esso.

La trasmissione del calore per convezione è esprimibile con la seguente legge:

-         Pp = potenza trasformata in calore  trasmessa  al fluido dal corpo caldo in un secondo (W)

-         Sc = superficie attraverso la quale il calore si trasmette  al fluido (m²), superficie utile per la convezione

-         Kc = Coefficiente di trasmissione  del  calore  per convezione (W/m² °C)

-         Dq = sovratemperatura del corpo rispetto al fluido (°C)

Nelle macchine elettriche tale tipo di trasmissione del calore si ha tra le superfici esterne degli avvolgimenti e dei nuclei e il fluido a contatto con tali parti (aria per le macchine rotanti, aria o olio per i trasformatori).

Irraggiamento

Avviene in generale dalle pareti dei corpi solidi all'aria cir­costante senza movimento di materia (può avvenire anche nel vuo­to).

È  una forma di trasmissione del calore sotto forma di onde elet­tromagnetiche le quali, colpendo un corpo, trasformano la propria energia in calore.

La trasmissione del calore per irraggiamento viene espressa con la legge di Stefan-Boltzmann:                                                    

-         Pp = potenza trasformata in calore irradiata all'ambiente dal corpo caldo in un secondo (W)

-         Si = superficie attraverso la quale  il calore si trasmette all'ambiente (m²), superficie utile per l'irraggiamento

-         q1  = temperatura assoluta (K) del corpo radiante

-         q2  = temperatura assoluta (K) dell'ambiente

-         Ki  = coefficiente di trasmissione del calore per irraggiamento (W/m2 K4)

Nelle macchine elettriche tale tipo di trasmissione del calore è quella che avviene fra le superfici esterne della macchina (per esempio, carcassa nel caso di macchine rotanti, cassone dell'olio nei trasformatori in olio) e l'aria circostante.

Poiché nel caso delle macchine elettriche risulta relativamente limitato il salto termico fra macchina e ambiente, si può adot­tare per la trasmissione del calore per irraggiamento una espres­sione simile a quella vista per la convezione:

Con ciò la trasmissione del calore per irraggiamento può espri­mersi anch'essa, così come quella per convezione, con una e­spressione lineare (proporzionalità fra quantità di calore tra­smessa e sovratemperatura), per cui si può adottare un'unica espressione che tenga conto globalmente delle due forme di tra­smissione del calore:

-         Pp = potenza trasformata in calore  e trasmessa all'ambiente per convezione e irraggiamento in un secondo (W)

-         S = superficie attraverso  la quale  il calore si trasmette all'ambiente per convezione e irraggiamento (m²)

-         K  = coefficiente globale di trasmissione del calore per convezione e irraggiamento (W/m² °C)

-         Dq  = sovratemperatura della macchina sull'ambiente (°C)

4 - ASPORTAZIONE DEL CALORE

Il trasferimento del calore dalle superfici della macchina elet­trica all'ambiente avviene, in maniera naturale o forzata, attra­verso i fluidi refrigeranti, costituiti in genere da:

-         aria e/o idrogeno per le macchine rotanti;
-         aria, olio e acqua per i trasformatori.

Avviene in maniera naturale quando esso è affidato unicamente all'irraggiamento e ai moti convettivi naturali dei fluidi refri­geranti.

Avviene in maniera forzata quando si ricorre alla circolazione artificiale dei fluidi refrigeranti. Ciò si rende necessario quando il solo raffreddamento naturale non è in grado di smalti­re tutto il calore prodotto e quindi di contenere la sovratempe­ratura della macchina al di sotto dei limiti massimi consentiti. Ricorrere al raffreddamento forzato equivale in pratica ad aumen­tare il coefficiente globale di trasmissione del calore.

Nel caso, per esempio, dei trasformatori in olio il raffredda­mento forzato può riguardare l'olio, l'aria, oppure entrambi i fluidi. Per i trasformatori più grandi si può ricorrere anche al raffreddamento forzato dell'olio mediante scambiatori di calo­re ad acqua.

Il sistema di raffreddamento dei trasformatori viene indicato con delle sigle formate da più lettere che stanno ad indicare:

-         A = aria

-         O = olio

-         W = acqua

-         N = circolazione naturale

-         F = circolazione forzata

Si possono così avere, per esempio, i seguenti sistemi di raffreddamento:

-      ONAN = Olio Naturale Aria Naturale (circolazione naturale dell'olio, circolazione naturale dell'aria)

-      ONAF = Olio Naturale Aria Forzata (circolazione naturale dell'olio, circolazione forzata dell'aria)

-      OFAF = Olio Forzato Aria Forzata (circolazione forzata dell'olio, circolazione forzata dell'aria)

-      OFWF = Olio Forzato Acqua Forzata (circolazione forzata dell'olio, circolazione forzata dell'acqua, che, in uno scambiatore di calore esterno al trasformatore, provvede a raffreddare l'olio)

LE CURVE DI RISCALDAMENTO E DI RAFFREDDAMENTO

1 - CURVA DI RISCALDAMENTO

Le perdite, in una macchina elettrica, si trasformano in calore facendo aumentare la sua sovratemperatura rispetto alla tempera­tura ambiente. La temperatura cresce fino a che tutto il calore prodotto dalle perdite viene ceduto all'ambiente. A quel punto la macchina raggiunge la condizione di regime e la sovratemperatura si stabilizza al valore   Dqmax , esprimibile con la relazione:

L'andamento nel tempo della sovratemperatura può essere espres­so, per un corpo omogeneo, con una relazione del tipo:

dove "T" è la "costante di tempo termica" del corpo che vale:

-         T  = costante di tempo termica (s)

-         M  = massa del corpo (Kg)

-         c  = calore specifico del corpo (J/Kg °C)

-         K  = coefficiente globale di trasmissione del calore (W/m² °C)

-         S  = superficie disperdente del calore (m²)

 

La curva che si ottiene dall'espressione precedente è la "curva di riscaldamento".

Come si nota dal grafico, la condizione di regime (raggiungibile teoricamente dopo un tempo infinito) viene raggiunta, in pratica, dopo un tempo pari a circa 5 volte la costante di tempo. 

2 - CURVA DI RAFFREDDAMENTO

Quando si annullano le perdite, perché la macchina cessa di funzionare, la sua sovratemperatura diminuisce gradualmente fino a raggiungere la temperatura ambiente.

 

L'andamento nel tempo della sovratemperatura è rappresentato dalla "curva di raffreddamento", che, per un corpo omogeneo ha una espressione del tipo:

 

Anche in questo caso il tempo di raffreddamento è, in pratica, pari a circa 5 volte la costante di tempo.

 

 A P P E N D I C E    A

 

EQUAZIONI  DELLE  CURVE  DI  RISCALDAMENTO E  DI  RAFFREDDAMENTO

Si consideri un intervallo di tempo  dt  durante il quale la sovra­temperatura  aumenta  della  quantità  d(Dq), passando  dal valore  Dq  al valore  Dq  + d(Dq):

Durante tale intervallo di tempo si ha il seguente bilancio termi­co:

-         Calore prodotto per effetto delle perdite:

 

-         Calore immagazzinato nella macchina elettrica:

-         Calore ceduto all'ambiente:

Il calore prodotto è uguale alla somma del calore immagazzinato e di quello ceduto:

vale a dire (sostituendo le espressioni precedenti):

dividendo ambo i membri per  dt, si ha:

Risolvendo l'equazione differenziale si ottiene:

Ponendo poi:

                                           (sovratemperatura a regime)

 

                                                   (costante di tempo termica)

si ha infine

            

che rappresenta appunto l'equazione della curva di riscaldamento.

In maniera analoga si può ricavare l'equazione della curva di raf­freddamento.

L'unica variazione è che, in questo caso, il calore prodotto è zero (dWp = 0).

Pertanto si ha:

cioè:

e quindi:

Risolvendo:

E infine:

 

A P P E N D I C E    B

 

COSTANTE DI TEMPO TERMICA

La costante di tempo termica può essere ricavata dalla curva di riscaldamento (o di raffreddamento) operando nel seguente modo:

-         si traccia la tangente alla curva di riscaldamento all'origine;

-         si determina il punto d'intersezione fra tale retta e la retta parallela all'asse delle ascisse di equazione  (asin­toto orizzontale della curva di riscaldamento);

-         l'ascissa di tale punto d'intersezione rappresenta la costante di tempo termica  T.

Analiticamente la costante di tempo T può essere calcolata nel seguente modo:

-         Si fa la derivata prima rispetto al tempo della curva di riscal­damento:

-         Il valore di tale derivata nel punto  t = 0  rappresenta il coef­ficiente angolare della tangente alla curva in quel punto:

-         La retta tangente alla curva di riscaldamento nell'origine ha pertanto l'equazione:

-         La retta parallela all'asse delle ascisse passante per il punto di ordinata   Dq è:

-         Il punto d'intersezione fra le due rette si ottiene risolvendo il seguente sistema:

                     

da cui si ottiene:

e quindi:

                                                       t = T

 

A P P E N D I C E    C

ESPRESSIONE  DELLE  PERDITE  NEL  RAME

Le perdite per effetto Joule in un conduttore di resistenza  R  percorso da una corrente  I  valgono:

Ricordando che:

                                                          e        

e sostituendo, si ottiene:

Il prodotto    rappresenta il volume (Vol) del conduttore, per cui si ha anche:

Moltiplicando e dividendo il secondo membro per il peso specifico  g , e ricordando che    (peso del rame), si ha:

Nella espressione precedente, per ottenere le perdite in [W], le varie grandezze a secondo membro devono essere espresse nelle seguenti unità di misura:

r   []  ,  g    ,  d    ,  Gcu  [Kg]

Siccome normalmente la densità di corrente d  si esprime, per comodità, in   si deve operare la conversione in  :

  =  d    =    

 

Inoltre la resistenza del rame va riportata a 75°C (temperatura convenzionale di riferimento delle perdite):

   =

 

= 0,0216   =    

Ricordando, infine, che il peso specifico del rame vale:

g = 8900   

si ha:

da cui:

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Commenti e note

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di ,

Nota: il sito dell'autore, Enrico Biagi, è elettrotecnica

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di giancarlo,

se mi puoi aiutare a risolvere:
temp. ambiente = 25�C
temp. regime = 45�C conduttore in rame D = 7,5mm L=1000 mm
Lambda = 12W/Mq/�C
calcolare la costante di tempo T e il tempo per arrivare alla temperatura di regime sapendo che t/T =4,5
il coefficiente del rame � 0,093 cosa? oppure 385J/Kg/�C o K , mi sai formulare la equivalenza?
grazie per il soccorso

tgr_it@tin.it

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di Domenico,

Sarebbe interessante avere la bibliografia dell intervento

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di Claudio,

sarebbe interessante avere dei valori numerici, o degli esempi di calcolo delle caratteristiche termiche delle macchine (capacita termica, resistenza termica) a seconda del tipo di raffreddamento, ONAN ONAF!

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di valerio,

sarebbe utile avere dei valori di riferimento delle conducibilità.

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