[quote="btfss"][quote="sebago"]"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"
In tutta sincerità no. O meglio, ho visto delle tabelle, ma non riesco ad impiegarle correttamente.
Beh, allora è un bel problema.
La "soluzione" ci sarebbe, sta in qualsiasi libro di testo che tratti del problema o in rete, ma se vuoi ti posso mandare un file che ne parla in maniera sintetica (mandami la tua mail in MP).
Ho anche un altro file che spiega in maniera abbastanza comprensibile le trasformate di Laplace, che
dimaios, con ammirabile chiarezza e encomiabile pazienza, ti ha descritto sopra.Un cosa è chiara: hai parecchio da fare e il tempo non è molto.
Lamentarsi (di sé o del prof), come ti si diceva, è comprensibile - non giustificabile - ma non è utile.
Consiglio: studia tanto, e quando hai bisogno, chiedi. Nei limiti del possibile qui sarà possibile trovare una mano d'aiuto.
[quote="dimaios"]
Si nota da cosa ? Dal fatto che non hai appreso le basi del calcolo differenziale ?
Direi di no. Chi legge il thread non può fare nessuna ipotesi sulla qualità delle lezioni del tuo professore di matematica.
Se realmente non ti ha dato gli strumenti del caso è un problema tuo perché devi costruirteli senza il suo ausilio. Non è corretto ma è così.
Il fatto che un insegnante non svolga correttamente il suo lavoro va denunciato nelle sedi opportune, in questo forum a parte lo sfogo personale non serve granchè.
Si nota da cosa ? Dal fatto che non hai appreso le basi del calcolo differenziale ?
Direi di no. Chi legge il thread non può fare nessuna ipotesi sulla qualità delle lezioni del tuo professore di matematica.
Se realmente non ti ha dato gli strumenti del caso è un problema tuo perché devi costruirteli senza il suo ausilio. Non è corretto ma è così.
Il fatto che un insegnante non svolga correttamente il suo lavoro va denunciato nelle sedi opportune, in questo forum a parte lo sfogo personale non serve granchè.
Sono d'accordo, la responsabilità è comunque mia che non fatto nulla per rimediare. Detto questo ti ringrazio per la disponibilità. Sono sicuro che i tuoi preziosi interventi saranno di aiuto ad altri studenti. Io intanto vedo di fare un po' di matematica visto che senza non si fa nulla.
[quote="btfss"] ..... Mi spiego: la derivata di X è 1, ma se faccio 
dovrebbe comunque venire 1, no? Però non penso che sia possibile altrimenti che ce lo mettono a fare questo ? ....
dovrebbe comunque venire 1, no? Però non penso che sia possibile altrimenti che ce lo mettono a fare questo ? ....
Questa frase è priva di senso, non si capisce cosa chiedi e dove vuoi arrivare.Se hai problemi di comprensione sulla definizione di derivata non è il caso di insistere sulle trasformate di Laplace.
Cosa vuol dire che la derivata di X è 1 ? Chi è X ?
[quote="btfss"]Ti dirò infatti che chi ha meno voglia di fare di tutti quanti è proprio il prof. di matematica e direi che si nota.
Si nota da cosa ? Dal fatto che non hai appreso le basi del calcolo differenziale ?
Direi di no. Chi legge il thread non può fare nessuna ipotesi sulla qualità delle lezioni del tuo professore di matematica.
Se realmente non ti ha dato gli strumenti del caso è un problema tuo perchè devi costruirteli senza il suo ausilio. Non è corretto ma è così.
Il fatto che un insegnante non svolga correttamente il suo lavoro va denunciato nelle sedi opportune, in questo forum a parte lo sfogo personale non serve granchè.
Una delle proprietà della trasformata di Laplace dice questo :
Se una funzione
ha come trasformata di Laplace [unparseable or potentially dangerous latex formula] allora si ha che :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Se la condizione iniziale è nulla cioè
si ha che :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
In definitiva se una funzione ha come trasformata 
la sua derivata [unparseable or potentially dangerous latex formula] ha trasformata [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Come vedi, la derivata nel tempo può essere una operazione anche molto lunga e complicata che potrebbe introdurre degli errori nel calcolo.
Invece di derivare la funzione nel tempo e poi trasformarla nel dominio di Laplace, si moltiplica la sua trasformata per la variabile complessa 
e si ottiene il medesimo risultato.
Questo è uno dei casi in cui la trasformata ti semplifica i calcoli non poco.
Nel caso specifico avevamo che :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Per quanto precedentemente spiegato, se la trasformata di Laplace di
è 
allora la trasformata di [unparseable or potentially dangerous latex formula] è [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Da questo si ha :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
da cui :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Tutto chiaro ?
Se si procedi con il calcolo che ti avevo proposto in precedenza per ricavare il modulo della funzione di trasferimento del filtro
.
Se una funzione
ha come trasformata di Laplace [unparseable or potentially dangerous latex formula] allora si ha che :[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Se la condizione iniziale è nulla cioè
si ha che :[unparseable or potentially dangerous latex formula]
In definitiva se una funzione
ha come trasformata la sua derivata [unparseable or potentially dangerous latex formula] ha trasformata [unparseable or potentially dangerous latex formula].Come vedi, la derivata nel tempo può essere una operazione anche molto lunga e complicata che potrebbe introdurre degli errori nel calcolo.
Invece di derivare la funzione
nel tempo e poi trasformarla nel dominio di Laplace, si moltiplica la sua trasformata per la variabile complessa e si ottiene il medesimo risultato.Questo è uno dei casi in cui la trasformata ti semplifica i calcoli non poco.
Nel caso specifico avevamo che :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Per quanto precedentemente spiegato, se la trasformata di Laplace di
è allora la trasformata di [unparseable or potentially dangerous latex formula] è [unparseable or potentially dangerous latex formula].Da questo si ha :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
da cui :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Tutto chiaro ?
Se si procedi con il calcolo che ti avevo proposto in precedenza per ricavare il modulo della funzione di trasferimento del filtro
.[quote="dimaios"][quote="btfss"]E poi 
è sempre 
?
è sempre ?Per definizione.
sono i radianti al secondo mentre 
sono gli angoli giri al secondo.[quote="btfss"]solo che con Laplace non saprei come fare. Procedo di ignoranza e dogmi.
Lo hai appena fatto.
Se scrivi le relazioni nel dominio del tempo hai :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Nella Laplace trasformata la moltiplicazione per costante rimane uguale per cui :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
da cui deriva :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dunque la tensione la tensione
nell'istante 
per la legge di Ohm vale il prodotto tra la corrente 
nell'istante e la resistenza 
. Consultando una tabella vedo che [unparseable or potentially dangerous latex formula]
quindi R che è costante la posso "portare fuori" e applicando Laplace il tutto diventa così:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
e quindi
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
e fino a qui dovrebbe filare, giusto?
Da qui in poi mi sono perso perché non riesco ad applicare le derivate in queste formule. Mi spiego: la derivata di X è 1, ma se faccio
dovrebbe comunque venire 1, no? Però non penso che sia possibile altrimenti che ce lo mettono a fare questo ? Ti dirò infatti che chi ha meno voglia di fare di tutti quanti è proprio il prof. di matematica e direi che si nota.
[quote="btfss"]E poi è sempre ?
è sempre ?Per definizione.
sono i radianti al secondo mentre sono gli angoli giri al secondo.[quote="btfss"]solo che con Laplace non saprei come fare. Procedo di ignoranza e dogmi.
Lo hai appena fatto.
Se scrivi le relazioni nel dominio del tempo hai :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Nella Laplace trasformata la moltiplicazione per costante rimane uguale per cui :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
da cui deriva :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Per il condensatore invece hai che nel tempo :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Ma siccome la derivata nella Laplace trasformata equivale a moltiplicare la funzione
per ( questa proprietà è illustrata in qualsiasi libro di riferimento ) abbiamo :[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Per cui il rapporto tensione corrente risulta:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il circuito equivalente nella trasformata di Laplace risulta quindi :
La funzione di trasferimento ingresso uscita risulta proprio quella che hai scritto :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Siccome il prodotto
ha le dimensioni di un tempo chiamiamolo 
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
A questo punto dobbiamo studiare questa funzione di trasferimento che chiamiamo
:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Valutiamo la risposta in frequenza sostituendo alla variabile
( tutto il piano complesso ) solo l'asse immaginario ovvero 
.Dopo la sostituzione calcola il modulo del risultato e poi continuiamo.
[quote="dimaios"]
Si dimostra che sull'asse immaginario risiede la risposta in frequenza del sistema che stai analizzando per cui la trasformata di Laplace F(s) calcolata per s=i\omega fornisce modulo e fase della trasformazione ingresso uscita del tuo sistema.
Si dimostra che sull'asse immaginario risiede la risposta in frequenza del sistema che stai analizzando per cui la trasformata di Laplace F(s) calcolata per s=i\omega fornisce modulo e fase della trasformazione ingresso uscita del tuo sistema.
Fatico a comprendere come si dimostra, ma suppongo di dover prendere queste parole come un assunto vista la situazione. E poi
è sempre ?[quote="dimaios"]
Prendi in considerazione il sistema RC in figura e prova a ricavare la funzione di trasferimento nella Laplace trasformata .... la "regola" deriva immediatamente dallo svolgimento di alcuni passaggi.
Non saprei come applicare la trasformata di Laplace nella pratica. So ricavarmi la funzione di trasferimento, ma non in maniera ortodossa; io procedo così:
- applico Kirchhoff alla maglia di ingresso;
- applico Kirchhoff alla maglia di uscita;
- dove vedo un condensatore ci metto un bel
, dove c'è un induttore sostituisco con 
, giusto perché mi dicono che è così; - faccio il rapporto tra l'espressione della maglia di uscita con quella di ingresso.
e
dunque
solo che con Laplace non saprei come fare. Procedo di ignoranza e dogmi.
[quote="sebago"]
A questo punto la domanda è:
"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"
In tutta sincerità no. O meglio, ho visto delle tabelle, ma non riesco ad impiegarle correttamente.
Premesso che continuo a non capire perché affermi che “questa forma”
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
derivi da questa
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
(che è un’espressione più o meno standard per le FdT), se confronti quest’ultima con quella che abbiamo ricavato per la tua, che riporto:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
è evidente che:
a)
b)
, ovvero il polo nullo (non chiamarlo "polo zero", alimenti la confusione...) ha molteplicità 1;
c)
e 
Noto ora che, mentre sto scrivendo, l'eccellentissimodimaios ti ha fornito un'ottima spiegazione sugli altri dubbi. Rimane il problema di come tracciare il diagramma di Bode (del modulo e della fase della FdT al variare della pulsazione). Prima però facciamo una leggera modifica formale:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
"Passiamola" al dominio della pulsazione:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
In questa forma si notano tre tipologie di funzioni elementari:
1) la costante K=2, a numeratore
2) la funzione
a denominatore
3) le funzioni
e 
, anch'esse al denominatore ed entrambe del tipo 
A questo punto la domanda è:
"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
derivi da questa
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
(che è un’espressione più o meno standard per le FdT), se confronti quest’ultima con quella che abbiamo ricavato per la tua, che riporto:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
è evidente che:
a)
b)
, ovvero il polo nullo (non chiamarlo "polo zero", alimenti la confusione...) ha molteplicità 1;c)
e Noto ora che, mentre sto scrivendo, l'eccellentissimo
dimaios ti ha fornito un'ottima spiegazione sugli altri dubbi. Rimane il problema di come tracciare il diagramma di Bode (del modulo e della fase della FdT al variare della pulsazione). Prima però facciamo una leggera modifica formale:[unparseable or potentially dangerous latex formula]
"Passiamola" al dominio della pulsazione:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
In questa forma si notano tre tipologie di funzioni elementari:
1) la costante K=2, a numeratore
2) la funzione
a denominatore3) le funzioni
e , anch'esse al denominatore ed entrambe del tipo A questo punto la domanda è:
"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"
Certo che è corretto scrivere quella formula.
Tramite la trasformazione [unparseable or potentially dangerous latex formula] si esegue la mappatura della funzione nella funzione corrispondente .
In particolare :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Ti ricordo che è una variabile complessa.
Come tale è esprimibile come
dove 
è la parte reale e è la parte immaginaria.
Il fatto che abbia utilizzato i simboli
anzichè 
non è casuale ma per il momento usiamoli semplicemente come convenzione.
Come ti ho spiegato in precedenza la trasformata di Laplace rende visibili certe proprietà dei segnali che nel dominio del tempo non riusciresti ad apprezzare facilmente.
In particolare se invece di considerare ovunque sul piano complesso prendiamo in considerazione solo la parte immaginaria finiamo per "ridurre" la trasformata al solo asse immaginario.
Poniamo quindi
.
Si dimostra che sull'asse immaginario risiede la risposta in frequenza del sistema che stai analizzando per cui la trasformata di Laplace calcolata per fornisce modulo e fase della trasformazione ingresso uscita del tuo sistema.
Ricorda che è la trasformata di Laplace del tuo sistema ed è un numero complesso dipendente da . Se a sostituisci 
ottieni [unparseable or potentially dangerous latex formula] che è un numero complesso dipendente da . Ad ogni frequenza ( pulsazione ) hai un numero complesso diverso che dice quanto vale il guadagno ( amplificazione o attenuazione ) ovvero [unparseable or potentially dangerous latex formula] e lo sfasamento [unparseable or potentially dangerous latex formula] ingresso uscita del tuo sistema.
In pratica se in ingresso al tuo sistema metti un segnale sinusoidare ( che è monofrequenza ) sai esattamente ( a quella frequenza ) quanto viene amplificato e sfasato.
A questo punto puoi capire la "regola" dei -20 db/decade che in realtà si ricava facilmente.
Se vuoi possiamo vederlo insieme con un esempio semplice.
Prendi in considerazione il sistema RC in figura e prova a ricavare la funzione di trasferimento nella Laplace trasformata .... la "regola" deriva immediatamente dallo svolgimento di alcuni passaggi.
: Segnale di ingresso in tensione
: Segnale d'uscita in tensione
: Resistenza
: Capacità
: Trasformata di Laplace dell'ingresso
: Trasformata di Laplace dell'uscita
[unparseable or potentially dangerous latex formula] : Funzione di trasferimento del sistema.
Devi ricavare che è la funzione di trasferimento del riquadro rosso indicato in figura.
Tramite la trasformazione [unparseable or potentially dangerous latex formula] si esegue la mappatura della funzione
nella funzione corrispondente .In particolare :
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Ti ricordo che
è una variabile complessa.Come tale è esprimibile come
dove è la parte reale e è la parte immaginaria.Il fatto che abbia utilizzato i simboli
anzichè non è casuale ma per il momento usiamoli semplicemente come convenzione.Come ti ho spiegato in precedenza la trasformata di Laplace rende visibili certe proprietà dei segnali che nel dominio del tempo non riusciresti ad apprezzare facilmente.
In particolare se invece di considerare
ovunque sul piano complesso prendiamo in considerazione solo la parte immaginaria finiamo per "ridurre" la trasformata al solo asse immaginario.Poniamo quindi
.Si dimostra che sull'asse immaginario risiede la risposta in frequenza del sistema che stai analizzando per cui la trasformata di Laplace
calcolata per fornisce modulo e fase della trasformazione ingresso uscita del tuo sistema.Ricorda che
è la trasformata di Laplace del tuo sistema ed è un numero complesso dipendente da . Se a sostituisci ottieni [unparseable or potentially dangerous latex formula] che è un numero complesso dipendente da . Ad ogni frequenza ( pulsazione ) hai un numero complesso diverso che dice quanto vale il guadagno ( amplificazione o attenuazione ) ovvero [unparseable or potentially dangerous latex formula] e lo sfasamento [unparseable or potentially dangerous latex formula] ingresso uscita del tuo sistema.In pratica se in ingresso al tuo sistema metti un segnale sinusoidare ( che è monofrequenza ) sai esattamente ( a quella frequenza ) quanto viene amplificato e sfasato.
A questo punto puoi capire la "regola" dei -20 db/decade che in realtà si ricava facilmente.
Se vuoi possiamo vederlo insieme con un esempio semplice.
Prendi in considerazione il sistema RC in figura e prova a ricavare la funzione di trasferimento nella Laplace trasformata .... la "regola" deriva immediatamente dallo svolgimento di alcuni passaggi.
: Segnale di ingresso in tensione : Segnale d'uscita in tensione : Resistenza : Capacità
: Trasformata di Laplace dell'ingresso : Trasformata di Laplace dell'uscita[unparseable or potentially dangerous latex formula] : Funzione di trasferimento del sistema.
Devi ricavare
che è la funzione di trasferimento del riquadro rosso indicato in figura.[quote="sebago"]
2) il denominatore "non torna", nel senso che l'equazione che hai scritto:
non è corretta (se sviluppi il prodotto a secondo membro ti accorgi che non coincide con il primo membro.
Correttamente, invece:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
2) il denominatore "non torna", nel senso che l'equazione che hai scritto:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
non è corretta (se sviluppi il prodotto a secondo membro ti accorgi che non coincide con il primo membro.
Correttamente, invece:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Nel trascrivere dal quaderno al computer ho tralasciato un due, però come si trovano poli e zeri è chiaro. La "semplificazione" della Fdt in binomi forse è chiara: si tratta di scomporre la funzione in prodotto di binomi come si faceva con Ruffini? E poi come faccio a tracciare il diagramma di Bode del guadagno G(s) e della fase in funzione della pulsazione
(o della frequenza)? [quote="dimaios"]
Per cortesia indica il corso di studi che stai frequentando e la materia specifica ( soprattutto l'anno del triennio suppongo ).
Quinto anno delle superiori ad indirizzo Elettronica. La materia in questione è appunto Elettronica.
[quote="dimaios"]
Fino qui tutto chiaro ?
Si può scrivere che [unparseable or potentially dangerous latex formula]? Se sì ho compreso, altrimenti credo di no. Sicuramente non è chiaro perché s è sempre uguale a
negli esercizi che svolgiamo a scuola.Comunque grazie mille ad entrambi per l'enorme pazienza dimostrata.