Per completezza del thread imposto una soluzione alternativa solo per la parte relativa alla risposta forzata.
Se definiamo la funzione
come:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Abbiamo che:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il vantaggio di questa rappresentazione è che abbiamo due termini all'interno della sommatoria anzichè 3 ed una costante al di fuori.
Si trasforma secondo Laplace e si moltiplica come prima per
, e analogamente si scompone con le frazioni parziali ecc, ecc.....
Il calcolo complessivo dovrebbe essere più agevole.
In realtà ho fatto anche un tentativo avendo calcolato:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Da un punto di vista formale è più elegante ma quando si moltiplica per il filtro passa basso e si tenta l'antitrasformazione di Laplace bisogna consultare i "libri sacri" per vedere cosa viene fuori.
Durante un esame certe antitrasformate di "nicchia" non sono disponibili per cui consiglio l'impiego delle prime due tecniche.
Se definiamo la funzione
come:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Abbiamo che:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il vantaggio di questa rappresentazione è che abbiamo due termini all'interno della sommatoria anzichè 3 ed una costante al di fuori.
Si trasforma secondo Laplace e si moltiplica come prima per
, e analogamente si scompone con le frazioni parziali ecc, ecc.....Il calcolo complessivo dovrebbe essere più agevole.
In realtà ho fatto anche un tentativo avendo calcolato:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Da un punto di vista formale è più elegante ma quando si moltiplica per il filtro passa basso e si tenta l'antitrasformazione di Laplace bisogna consultare i "libri sacri" per vedere cosa viene fuori.
Durante un esame certe antitrasformate di "nicchia" non sono disponibili per cui consiglio l'impiego delle prime due tecniche.
Sì certo, era chiaro.
Ma la risposta a regime mi sembra che esista.
Inoltre proprio l'OP:
[quote="kiopo"]
Ora non so come agire per la risposta a regime permanente, potrei usare lo sviluppo in serie di Fourier e usare la formula per l'ingresso sinusoidale ma in teoria nel corso non sarebbe necessario utilizzare Fourier.
Ma la risposta a regime mi sembra che esista.
Inoltre proprio l'OP:
[quote="kiopo"]
Ora non so come agire per la risposta a regime permanente, potrei usare lo sviluppo in serie di Fourier e usare la formula per l'ingresso sinusoidale ma in teoria nel corso non sarebbe necessario utilizzare Fourier.
La mia osservazione non vuole togliere nulla alla risposta molto chiara e semplice che hai dato.
In realtà chiede "l'evoluzione in uscita e, se esiste la risposta a regime permanente". Sono due cose diverse (la domanda è scritta molto male ma il senso è deducibile dal contesto ).
Certo, ma a prescindere dall'evoluzione libera dello stato iniziale, il testo richiede la risposta a regime permanente, ma abbiamo dato tutta la risposta forzata, sia la parte transitoria sia la parte a regime.
Le prime oscillazioni sono affette da un transitorio: il valor medio scende a zero da un valore localmente non nullo. Si vede anche nelle simulazioni.
Del resto si può calcolare anche come semplice carica di un condensatore verso 1V e verso -1V che non raggiunge mai, ed essendo tau proprio pari al momento in cui cambia l'ingresso arriva al 63% della escursione richiesta.
Quindi la prima volta a 0,63V poi scende del 63% di 1,63V ( |-1 - (0,63)| ) e così via fino a stabilizzarsi fra -0,462 e 0,462.
Le prime oscillazioni sono affette da un transitorio: il valor medio scende a zero da un valore localmente non nullo. Si vede anche nelle simulazioni.
Del resto si può calcolare anche come semplice carica di un condensatore verso 1V e verso -1V che non raggiunge mai, ed essendo tau proprio pari al momento in cui cambia l'ingresso arriva al 63% della escursione richiesta.
Quindi la prima volta a 0,63V poi scende del 63% di 1,63V ( |-1 - (0,63)| ) e così via fino a stabilizzarsi fra -0,462 e 0,462.
[quote="GioArca67"]
Ora una domanda per
dimaios:
Ma quella trovata non è (quasi) la risposta totale del sistema a quel determinato ingresso? non mi sembra la risposta a regime permanente, sbaglio?
Ora una domanda per
dimaios:Ma quella trovata non è (quasi) la risposta totale del sistema a quel determinato ingresso? non mi sembra la risposta a regime permanente, sbaglio?
Siccome il problema più arduo era quello di calcolare la risposta forzata rispetto al segnale d'ingresso ho omesso il calcolo della matrice di transizione che porta alla definizione della risposta complessiva.
Il sistema in questo caso non è controllabile per cui è indispensabile verificare che gli autovalori della parte non raggiungibile siano stabili. Siccome lo sono si può dedurre, senza applicare la scomposizione di Kalman, che il sistema è asintoticamente stabile e la risposta libera non "sfugge" ( tantomeno serve un ingresso opportuno per non farla divergere ).
Magari più tardi pubblico un'idea diversa e probabilmente computazionalmente più interessante per il calcolo della risposta forzata.
[quote="dimaios"]Ti fornisco una traccia per risolvere il primo problema.
L'onda quadra la puoi scrivere in questo modo ( attenzione non è l'unico modo per scriverla ma uno dei possibili, se ti viene difficile antitrasformare puoi anche semplificare la scrittura in un altro modo ma prima prova con questo ).
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove sappiamo che il periodo
è pari a 
La trasformata di quella funzione è:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
A questo punto moltiplichi il tutto per il filtro passa basso del sistema complessivo che risulta essere
E ottieni:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Isoli il termine:
A questo punto usi le frazioni parziali e lo trasformi in:
Lo riporti all'interno moltiplicando i singoli membri:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Moltiplica i tre termini separatamente e vedrai che sono anti-trasformabili secondo Laplace utilizzando il Second Shifting Theorem delle trasformate.
Ovviamente risulteranno infiniti termini di esponenziali crescenti e decrescenti ( come deve essere ).
La soluzione del secondo problema invece è più rapida.
Se il segnale in uscita viene ritardato di 45° rispetto a quello di ingresso e viene amplificato di 10 evidentemente viene filtrato da un passa basso.
Il passa basso del primo ordine ha un ritardo proprio di 45° alla frequenza di taglio per cui è un ottimo candidato.
Attento comunque che il guadagno alla frequenza di taglio non è 1 per cui non puoi cavartela moltiplicando per 10 il filtro passa basso con guadagno unitario ma devi compensare anche i -3dB che perdi a causa del guadagno che sta calando in quel punto specifico.
Pensaci un attimo con un disegno alla mano, se hai problemi ci risentiamo.
L'onda quadra la puoi scrivere in questo modo ( attenzione non è l'unico modo per scriverla ma uno dei possibili, se ti viene difficile antitrasformare puoi anche semplificare la scrittura in un altro modo ma prima prova con questo ).
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove sappiamo che il periodo
è pari a La trasformata di quella funzione è:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
A questo punto moltiplichi il tutto per il filtro passa basso del sistema complessivo che risulta essere
E ottieni:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Isoli il termine:
A questo punto usi le frazioni parziali e lo trasformi in:
Lo riporti all'interno moltiplicando i singoli membri:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Moltiplica i tre termini separatamente e vedrai che sono anti-trasformabili secondo Laplace utilizzando il Second Shifting Theorem delle trasformate.
Ovviamente risulteranno infiniti termini di esponenziali crescenti e decrescenti ( come deve essere ).
La soluzione del secondo problema invece è più rapida.
Se il segnale in uscita viene ritardato di 45° rispetto a quello di ingresso e viene amplificato di 10 evidentemente viene filtrato da un passa basso.
Il passa basso del primo ordine ha un ritardo proprio di 45° alla frequenza di taglio per cui è un ottimo candidato.
Attento comunque che il guadagno alla frequenza di taglio non è 1 per cui non puoi cavartela moltiplicando per 10 il filtro passa basso con guadagno unitario ma devi compensare anche i -3dB che perdi a causa del guadagno che sta calando in quel punto specifico.
Pensaci un attimo con un disegno alla mano, se hai problemi ci risentiamo.
è effettivamente questo l'approccio che devo usare grazie mille, proverò come hai suggerito
Per gli eventuali diffidenti:
MarcoD chiedeva, ecco:non avevo la pazienza di fare l'onda quadra a media nulla, ma mettendo la condizione iniziale su C1, risulta lo stesso... i valori ovviamente sono tutti con +1V.
Ora una domanda per
dimaios:Ma quella trovata non è (quasi) la risposta totale del sistema a quel determinato ingresso? non mi sembra la risposta a regime permanente, sbaglio?
Quasi perché non si tiene in considerazione l'evoluzione libera dallo stato iniziale (ovviamente a regime non interessa in quanto essendo i poli negativi tende a zero)
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
che, con i dati forniti, se non ho sbagliato, è il secondo polo in -2
quindi un [unparseable or potentially dangerous latex formula] che si somma a quanto trovato sopra: in verde
Ti fornisco una traccia per risolvere il primo problema.
L'onda quadra la puoi scrivere in questo modo ( attenzione non è l'unico modo per scriverla ma uno dei possibili, se ti viene difficile antitrasformare puoi anche semplificare la scrittura in un altro modo ma prima prova con questo ).
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove sappiamo che il periodo è pari a
La trasformata di quella funzione è:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
A questo punto moltiplichi il tutto per il filtro passa basso del sistema complessivo che risulta essere
E ottieni:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Isoli il termine:
A questo punto usi le frazioni parziali e lo trasformi in:
Lo riporti all'interno moltiplicando i singoli membri:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Moltiplica i tre termini separatamente e vedrai che sono anti-trasformabili secondo Laplace utilizzando il Second Shifting Theorem delle trasformate.
Ovviamente risulteranno infiniti termini di esponenziali crescenti e decrescenti ( come deve essere ).
La soluzione del secondo problema invece è più rapida.
Se il segnale in uscita viene ritardato di 45° rispetto a quello di ingresso e viene amplificato di 10 evidentemente viene filtrato da un passa basso.
Il passa basso del primo ordine ha un ritardo proprio di 45° alla frequenza di taglio per cui è un ottimo candidato.
Attento comunque che il guadagno alla frequenza di taglio non è 1 per cui non puoi cavartela moltiplicando per 10 il filtro passa basso con guadagno unitario ma devi compensare anche i -3dB che perdi a causa del guadagno che sta calando in quel punto specifico.
Pensaci un attimo con un disegno alla mano, se hai problemi ci risentiamo.
L'onda quadra la puoi scrivere in questo modo ( attenzione non è l'unico modo per scriverla ma uno dei possibili, se ti viene difficile antitrasformare puoi anche semplificare la scrittura in un altro modo ma prima prova con questo ).
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Dove sappiamo che il periodo
è pari a La trasformata di quella funzione è:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
A questo punto moltiplichi il tutto per il filtro passa basso del sistema complessivo che risulta essere
E ottieni:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Isoli il termine:
A questo punto usi le frazioni parziali e lo trasformi in:
Lo riporti all'interno moltiplicando i singoli membri:
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
Moltiplica i tre termini separatamente e vedrai che sono anti-trasformabili secondo Laplace utilizzando il Second Shifting Theorem delle trasformate.
Ovviamente risulteranno infiniti termini di esponenziali crescenti e decrescenti ( come deve essere ).
La soluzione del secondo problema invece è più rapida.
Se il segnale in uscita viene ritardato di 45° rispetto a quello di ingresso e viene amplificato di 10 evidentemente viene filtrato da un passa basso.
Il passa basso del primo ordine ha un ritardo proprio di 45° alla frequenza di taglio per cui è un ottimo candidato.
Attento comunque che il guadagno alla frequenza di taglio non è 1 per cui non puoi cavartela moltiplicando per 10 il filtro passa basso con guadagno unitario ma devi compensare anche i -3dB che perdi a causa del guadagno che sta calando in quel punto specifico.
Pensaci un attimo con un disegno alla mano, se hai problemi ci risentiamo.
Ho modificato lo schema, così la fdt non è influenzata dal carico.
Poi è meglio filtrare il prima possibile
Probabilmente non interessa, ma qualcuno per esercizio potrebbe dimensionare i valori
in modo che il circuito soddisfi il problema, e poi simulare il circuito e verificare il risultato.
in modo che il circuito soddisfi il problema, e poi simulare il circuito e verificare il risultato.
