ElectroYou

Salve a tutti avrei bisogno di aun aiuto :S sto studiando principi di ingegneria eettrica eho un problema con i circuiti in evoluzione dinamica. Ho postato un esercizio (spero di averlo postato bene perché sono nuova da queste parti) che non riesco a svolgere perché per t<o è in evoluzione livera ma non mi dà le condizioni iniziali. io ho scritoo tutta l'equazione differenziale però non riesco a calcolarmi l'intensità del condensatore all'istant iniziale che mi serve per imporre la seconda condizione iniziale.
Gentilmente heeelp grazie!!!

Traccia:

Il circuito in figura è a riposo per t< 0

. Determinare l'andamento nel tempo della tensione del condensatore v(t)

.

Dati del problema:

$e(t)\ =\ \left\{\begin{matrix} 0 & t<0\\ E_{0} & t>0 \end{matrix}\right.$

$E_{0}\ =\ 1\,\mathrm{V}$
$\omega\ =\ 10^6\,\mathrm{rad/s}$
$R\ =\ 2\,\mathrm{\Omega}$
$L\ =\ 1\,\mathrm{\mu H}$
$C\ =\ 2\,\mathrm{\mu F}$

Circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sai cosa significa "a riposo" e come diventano i bipoli dipendenti dal tempo condensatore e induttore?
Quale è l'equazione differenziale che hai ricavato?

Glorietta ha scritto:... Gentilmente heeelp grazie!!!

Gentilmente FiiidoCadJ grazie !!! ;-)

Accodandomi al suggerimento di

RenzoDF, ti segnalo :
- link dove scaricare ed imparare ad utilizzare FidoCadJ;
- link ad editor per la scrittura delle espressioni matematiche con LaTeX.

Si a riposo è come dire che il generatore è spento e in tali condizioni il condensatore si comporta da circuito aperto e l'induttre da corto circuio. Ora, l'equazione a cui sono giunta è questa
d^2 v(t)/dt + 1/RC dv(t)/dt + 1/LC v(t) = 0
le condizioni iniziali sono:
-tensione del condensatore in 0
-dv(t)/dt = i(0)/C questa deriva dalla relazione caratteristica del condensatore.
Se non ho fatto errori penso che l'equazione da risolvere sia proprio questa. Ma come ho detto non riesco a trovare l'intensità del condensatore in 0 . Grazie ancora e perdonate la scrittura delle formule un po' elementare...prima o poi diventerò pratica ;)

Glorietta ha scritto:Grazie ancora e perdonate la scrittura delle formule un po' elementare...prima o poi diventerò pratica ;)

...lo diventerai disegnando il circuito in FidoCadJ e scrivendo le formule in LaTeX, come ti è stato suggerito ai post [3] e [4] ;-)

.

Beh se il circuito è a riposo, la tensione v(t) ai capi del condensatore è uguale a 0 per t < 0, così come è nulla la sua derivata rispetto al tempo.
Queste condizioni andranno poi applicate per individuare le condizioni iniziali dell' evoluzione della dinamica del circuito per t > 0, ricordando che, come disse Aristotele, "Natura non facit saltus!":
$v(0^{-})=v(0^{+})$ e $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{-})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{+})$ .
A t > 0, applicando KCL (Principio di Kirchhoff alle correnti) al nodo cui sono collegati tutti i bipoli passivi, si giunge all'equazione:
$\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{2}{RC}v(t)+\frac{1}{LC}\int_{0^{+}}^{t}v(t)dt=\frac{e(t)}{RC}$
Ora, non ho ben capito se per t > 0 la forzante è di tipo sinusoidale (seno o coseno?) od altro :-P

Come continueresti?

angelsanct ha scritto:...ricordando che... $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{-})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{+})$ ...

angelsanct, non credo che per un condensatore sia valida quella condizione di continuità... :!:

Io farei in modo diverso, anche perché l'ultima equazione ricavata non saprei come risolverla, e ammesso che si risolva come calcoli la costante arbitraria introdotta dall'integrale? non con le condizioni iniziali. Il mio professore di controlli automatici diceva che integrare è diabolico ed è sempre meglio ricondursi alle derivate.

Penso che il modo migliore sia ricavare l'equazione che governa l'evoluzione del circuito in funzione della corrente sull'induttore.

$RLC \frac{d^2i_L}{dt^2} + L \frac{di_L}{dt} + 2R i_L= e(t)$

risolvi l'omogenea e sommi la soluzione particolare trovata supponendo la rete in regime sinusoidale.
Una volta trovato l'integrale generale puoi usare la condizione i_L(0)=0

per trovare una delle due costanti di indeterminazione.
A questo punto derivi quanto trovato fin ora rispetto al tempo per ricavare v_C(t)

, applichi v_C(0)=0

per calcolare l'ultima costante di indeterminazione ed è fatta :mrgreen:

Per determinare la tensione ai capi del condensatore per t>0+ basta risolvere direttamente il seguente problema di Cauchy senza dover necessariamente scomodare la corrente che transita nell'induttore...

$\begin{cases} \frac{\textrm{d}^{2}v_{C}}{\textrm{d}t^{2}}+\frac{2}{RC}\,\frac{\textrm{d}v_{C}}{\textrm{d}t}+\frac{v_{C}}{LC}=0\\ \frac{\textrm{d}v_{C}}{\textrm{d}t}\Big|_{t=0^{+}}=\frac{E_{0}}{RC}\\ v_{C}\left(0^{+}\right)=0\;\textrm{V} \end{cases}$

Svolgendo i vari calcoli, si giunge al seguente risultato...

$v_C=\frac{{\text{e}}^{-250000\,t}\,\mathrm{sin}\left( 250000\,\sqrt{7}\,t\right) }{\sqrt{7}}$

ovvero...

: Andamento temporale della tensione ai capi del condensatore per t>0+.; vc(t).png (5.43 KiB) Osservato 7677 volte

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Circuiti in evoluzione dinamica

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