ElectroYou

Ciao a tutti sono nuovo. Data la serietà di questo sito volevo esplicarvi i miei problemi; ho il seguente circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ho ricavato I(s) e la RT ma il mio problema sorge quando devo calcolarmi Iu(S) e Vu(S) per scrivere poi la funzione di trasferimento che in questo caso è Vu(S) / Vi(S).
Il risultato ripartito sul libro dovrebbe essere :
G(S) = R^3C^3S^3/ R^3C^3S^3 +6R^2C^2S^2+5RCS+1
Ps: con ^ indico elevazione.

Grazie ancora.

- fidocadj -

Ciao

OMICRON, data la serietà del sito ti invito a leggere le regole del forum tra le quali troverai il divieto di usare server esterni per le immagini, gli schemi vanno disegnati con FidoCADJ, le formule e i calcoli scritti in LaTeX etc. grazie.

Pardon.

Che cosa e` I(s)? La corrente di ingresso?

Per trovare la funzione di trasferimento Vu/Vi puoi fare in due o tre modi diversi.

Ad esempio puoi scrivere 3 equazioni ai nodi V1 V2 e Vu di questo circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Le equazioni sono singolarmente facili, ma poi devi risolvere 3 equazioni in 3 incognite, anche se in realta` te ne serve una sola di incognita, Vu.

Ad esempio l'equazione per il nodo 2 viene

$(V_1-V_2)sC+(V_u-V_2)sC=\frac{V_2}{R}$

Se non vuoi scrivere 3 equazioni in tre incognite, puoi scrivere solo due equazioni in due incognite, prendendo V1 e V2. Trovi V2 e da questa ricavi Vu con un partitore di tensione

$V_u=V_2\frac{sCR}{1+sCR}$

Se non vuoi usare le equazioni ai nodi, puoi usare ad esempio i partitori, calcolando prima le impedenze Z1, Z2 e Z3 viste a queste sezioni:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Poi parti dalla sorgente Vi e vai fino all'uscita, calcolando correnti e partitori di corrente

$\left . \frac{V_i}{Z_1}\right |_{I_1}\times \left .\frac{R}{R+Z_2}\right |_{I_2} \times \left .\frac{R}{R+Z_3}\right |_{I_3}\times R=V_u$

Sembra facile, ma le espressioni delle varie Z sono abbastanza complicate.

Oppure ancora puoi usare il metodo di Ahmes: supponi che la tensione di uscita sia unitaria: $V_u=1\text{V}$ e da questa calcoli I3

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$I_3=\frac{1\text{V}}{R}$ Con I3 calcoli V2,
$V_2=1\text{V}+\frac{I_3}{sC}$

Sapendo la tensione V2 puoi calcolare la corrente I2

$I_2=\frac{V_2}{R}+I_2$ e dalla corrente I2 puoi calcolare la tensione V1

$V_1=V_1+\frac{I_2}{sC}$ e adesso, guess what? si ripete la procedura. Dalla tensione V1 ricavi la corrente I1

$I_1=I_2+\frac{V_2}{R}$ e con la corrente I1 trovi la tensione di ingresso Vi che ti da` 1V all'uscita

$V_i=V_1+\frac{I_1}{sC}$ E finalmente puoi trovare il rapporto Vu/Vi. Sempra lungo ma i conti sono semplici.

IsidoroKZ ha scritto:Oppure ancora puoi usare il metodo di Ahmes:

... o anche, definito k come segue

$k=\frac{{{Z}_{1}}}{{{Z}_{2}}}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

usando semplicemente

$\begin{align} & G(s)=\frac{{{V}_{u}}(s)}{{{V}_{i}}(s)}=\frac{1}{1+6k+5{{k}^{2}}+1{{k}^{3}}} \\ & =\frac{{{s}^{3}}{{C}^{3}}{{R}^{3}}}{{{s}^{3}}{{C}^{3}}{{R}^{3}}+6{{s}^{2}}{{C}^{2}}{{R}^{2}}+5sCR+1} \\ \end{align}$

;-)

Una relazione notevole, che nella sua forma generale permetterebbe di determinare anche i potenziali dei nodi intermedi ma che particolarizzata per il potenziale al nodo finale si semplifica nella seguente

$\frac{{{V}_{u}}(s)}{{{V}_{i}}(s)}=\frac{1}{\sum\limits_{j=0}^{n}{{{c}_{j}}}{{k}^{j}}}$

(n= numero celle e i coefficienti cj sono quelli relativi alla riga i=n della tabella)

... tanto per fare un altro esempio

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$\frac{{{V}_{u}}(s)}{{{V}_{i}}(s)}=\frac{1}{1+10+15+7+1}=\frac{1}{34}$

~~Lascio a voi estendere il metodo per ricavare i coefficienti della tabella.~~
... come non detto.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

-------- Edit --------------------------------------------------------------
Giusto per completare il discorso posto anche la relazione generale,
ovvero quella per determinare il potenziale ai nodi sezionali intermedi h

${{V}_{h}}(s)=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-h}{{{b}_{i}}}{{k}^{i}}}{\sum\limits_{j=0}^{n}{{{c}_{j}}}{{k}^{j}}}$

dove le costanti bi sono ricavabili sempre dalla suddetta tabella, ma diversamente dalle cj, non sulla diagonale n-esima, ma bensì sulla diagonale (n-h)-esima.