ElectroYou

Salve io ho il circuito della figura e dovrei determinare la corrent iL, solo che non riesco ad impostare l'equazione differenziale.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Scrivo la somma delle correnti ai nodi:
ir + iL + ic= 0

Poi però non riesco a trovare le sostituzioni necessarie per avere l'equazione espressa per iL.

Vi ringrazio per l'aiuto che potrete darmi.

Domanda preliminare: equazioni diferenziali o in regime stazionario?
Comunque:
Il circuito ha due nodi, quindi c'è un'equazione "ai nodi" (quella che hai scritto)
Ora devi scrivere due equazione "alle maglie".
Le maglie utilizzabili sono tre: quella di destra, quella di sinistra, quella "esterna".
Supponi di usare quella di destra e quella di sinistra.
Scegli un verso di percorrenza della maglia (per es. antiorario).
Calcola la somma delle cadute di tensione sulla maglia, che deve essere uguale alla somma delle fem dei generatori.
Ecco le altre due equazioni.

C'è qualche altro metodo, ma visto che sei partito con l'equazione di nodo, questo mi sembra il più adatto.
O_/

In generale per analizzare reti in regime variabile durante i transitori dovresti procedere nel seguente modo.

[1] scrivi le leggi di Kirchhoff;
[2] scrivi le leggi di bipolo dei componenti del circuito;
[3] sostituisci le leggi di bipolo all'interno delle leggi di Kirchhoff;
[4] vai avanti per sostituzione fino a che non ottieni l'equazione differenziale della funzione che devi trovare;

la cosa importante è procedere sempre derivando le grandezze che incontri, evita gli integrali.

Quindi per il circuito che hai postato scrivici le equazioni di Kirchhoff e le leggi di bipolo (usando Latex per le formule come da regolamento).

Devi solo ricavare l'equazione? perché se la devi anche risolvere mancano le condizioni iniziali della rete.

Puoi anche applicare Millman per trovare la tensione fra i due nodi, ovvero

$v_{R_{2}}=\frac{v_{C}G_{1}-i_{L}}{G_{1}+G_{2}}$

e con questa scrivere il sistema delle due equazioni di stato

$\left\{ \begin{align} & i_{C}=G_{1}\left( v_{R_{2}}-v_{C} \right) \\ & v_{L}=v_{R_{2}}-v_{g} \\ \end{align} \right.$

dalle quali, o userai la soluzione "sistemistica" oppure ricaverai l'equazione differenziale cercata per iL(t).

Vi ringrazio per le risposte, allora un po' di precisazioni:

Devo trovare la corrente iL(t), ovvero nel transitorio. Ora le condizioni iniziali le so trovare come anche il comportamento del circuito per t-> infinito.

L'unica cosa che non riesco a fare è impostare l'equazione differenziale del secondo ordine da risolvere per trovare iL(t).

Per studiare tale circuito nel transitorio bisogna spegnere i generatori indipendenti per cui spengo Vg.

L'eq al nodo è per cui quella scritta Ir+Ic+Il=0

Chiamando semplicemente

la tensione presente sul parallelo del curcuito scrivo: V=Vr2=Vl

Scrivo le equazioni alle maglie: V-Vr1-Vc=0

e sull'altra maglia Vr2=Vl

Le leggi di bipolo dei componenti sono
Ir=V/R2

Ora però non riesco a fare le sostituzioni giuste per arrivare a scrivere l'equazione differenziale rispetto a Il(t)

Per t>0, l'equazione differenziale per la corrente che scorre nell'induttore dovrebbe essere...

$LC\left(1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)\frac{\text{d}^{2}i_{L}}{\text{d}t^{2}}+\left(\frac{L}{R_{2}}+R_{1}C\right)\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}+i_{L}=-C\left(1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)\frac{\text{d}v_{g}}{\text{d}t}-\frac{v_{g}}{R_{2}}$

Prova a risolvere il relativo problema di Cauchy e verifica se il risultato ottenuto è corretto.
In caso di dubbi o domande, siamo qua ;-)

Tarlo ha scritto:Per studiare tale circuito nel transitorio bisogna spegnere i generatori indipendenti per cui spengo Vg.

Perché? ... quel generatore è forse "spento" per t>0 ? :shock:

Tarlo ha scritto:... Ora però non riesco a fare le sostituzioni giuste per arrivare a scrivere l'equazione differenziale rispetto a

E' un problema che si presenta spesso nel cercare di usare un generico sistema con KCL e KVL, ed era proprio per questa ragione che ti consigliavo di imparare a ricavarti le equazioni di stato, ovvero in questo caso, chiamata v (come hai fatto tu) la tensione fra i due nodi (by Millman)

$v=\frac{v_{C}G_{1}-i_{L}}{G_{1}+G_{2}}$

scriverle, da ispezione della rete, come

$\left\{ \begin{align} & i_{C}=G_{1}\left( v-v_{C} \right) \\ & v_{L}=v-v_{g} \\ \end{align} \right.$

in quanto, a questo punto è semplice passare alla forma "normale"

$\left\{ \begin{align} & i_{C}=-\frac{G_{1}G_{2}}{G_{1}+G_{2}}v_{C}-\frac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}}i_{L} \\ & v_{L}=\frac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}}v_{C}-\frac{1}{G_{1}+G_{2}}i_{L}-v_{g} \\ \end{align} \right.$

Andando a calcolare i coefficienti numerici tutto si semplificherebbe ulteriormente, e la sostituzione per esplicitare una tensione o una corrente sarebbe immediata, ad ogni modo possiamo procedere anche simbolicamente ma, per semplificare, è conveniente introdurre quattro costanti a,b,k

$\left\{ \begin{align} & i_{C}=-av_{C}-bi_{L} \\ & v_{L}=bv_{C}-ki_{L}-v_{g} \\ \end{align} \right.$

ricavando vc dalla seconda

$v_{C}=\frac{1}{b}\left( v_{L}+v_{g}+ki_{L} \right)$

e sostituendo nella prima, avremo

$\frac{C}{b}\left[ L\frac{\text{d}^{2}i_{L}}{\text{d}t^{2}}+\frac{\text{d}v_{g}}{\text{d}t}+k\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t} \right]=-\frac{a}{b}\left( L\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}+v_{g}+ki_{L} \right)-bi_{L}$

e raccogliendo, l'equazione differenziale (da sgrezzare)

$\frac{LC}{b}\frac{\text{d}^{2}i_{L}}{\text{d}t^{2}}+\left( \frac{kC+aL}{b} \right)\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}+\left( b+\frac{ak}{b} \right)i_{L}=-\frac{C}{b}\frac{\text{d}v_{g}}{\text{d}t}-\frac{a}{b}v_{g}$

Io questo metodo te lo consiglio caldamente, poi vedi tu se vuoi invece affidarti "alla fortuna" di individuare nel sistema delle KCL+KVL il percorso sostitutivo ottimo. ;-)

BTW anche qui è tutto da controllare, gli errori sono più che probabili, ... oramai ho la testa da un'altra parte! :mrgreen:

Vi ringrazio nuovamente per l'aiuto:
allora ho appena guardato le vostre risposte e devo ancora riapplicarmi al problema però mi sono chiarito un attimo le idee e vi espongo come sono abituato a procedere.

Inoltre per rispondere alla domanda di RenzoDF

Perché? ... quel generatore è forse "spento" per t>0 ?

si quel generatore c'è però, per studiare il transitorio del circuito, lo si considera spento, poiché avendo i generatori indipendenti costanti, la soluzione particolare dell'eq. differenziale sarà costante per t->infinito, e viene studiata quindi per il circuito a regime.

Per cui si studia solo la soluzione omogenea dell'equzione differenziale in t>0 che appunto è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea e la si scrive considerando i generatori indipendenti spenti.

Tutto ciò lo si trova scritto nel libro "Circuiti Elettrici" di Renzo Perfetti.

In generale io procedo così: mi ricavo le condizioni iniziali iL(0) e diL/dt (0) e la soluzione a regime iL(inf), poi spengo i generatori indipendenti e scrivo l'equazione differenziale omogenea del secondo ordine, la risolvo e la sommo con la soluzione particolare dell'equazione, che è iL(inf)-iL(0) .

Non ho mai avuto a che fare col metodo delle equazioni di stato ma se come dici mi semplifica di molto il lavoro, dopo averlo risolto nel modo descritto dal libro, proverò anche con le equazioni di stato.

@Lele, prendendo poi spunto dall'equazione che mi hai scritto cerco di ricavarmi i passaggi e scriverla anche io: purtroppo non potrò verificarne la correttezza perché essendo un vecchio compito d'esame non ne è pubblicata la soluzione ma solo i dati.

Ancora un enorme grazie.

Tarlo ha scritto:Inoltre per rispondere alla domanda di RenzoDF
Perché? ... quel generatore è forse "spento" per t>0 ?

si quel generatore c'è però, per studiare il transitorio del circuito, lo si considera spento,

Se c'è non puoi spegnerlo per scrivere l'equazione differenziale completa, che è quella alla quale abbiamo fatto riferimento sia io sia

Lele_u_biddrazzu; che poi fosse costante noi non potevamo proprio saperlo, abbiamo entrambi la sfera di cristallo in revisione.

Tarlo ha scritto:... poiché avendo i generatori indipendenti costanti, la soluzione particolare dell'eq. differenziale sarà costante per t->infinito, e viene studiata quindi per il circuito a regime.

Questo è un altro discorso, di particolarizzazione successiva.

Tarlo ha scritto:... Per cui si studia solo la soluzione omogenea dell'equzione differenziale in t>0 che appunto è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea e la si scrive considerando i generatori indipendenti spenti.

Questo mi sembra di averlo già sentito dire :mrgreen:

, chissà perché si chiama omogenea "associata" ... a chi si riferirà quell'aggettivo ? :roll:

Tarlo ha scritto:...In generale io procedo così: mi ricavo le condizioni iniziali iL(0) e diL/dt (0) e la soluzione a regime iL(inf), poi spengo i generatori indipendenti e scrivo l'equazione differenziale omogenea del secondo ordine, la risolvo e la sommo con la soluzione particolare dell'equazione, che è iL(inf)-iL(0) .

Su questo tuo metodo avrei qualche dubbio, ma se posti la tua soluzione, ne riparliamo.

... purtroppo non potrò verificarne la correttezza perché essendo un vecchio compito d'esame non ne è pubblicata la soluzione ma solo i dati.

Non ti preoccupare, che l'equazione differenziale di

Lele_u_biddrazzu sia corretta te lo garantisco io, essendo identica alla mia non possiamo avere sbagliato entrambi nello stesso modo. ;-)

Aspettiamo con impazienza la tua soluzione.

Ok, ho capito tutte le precisazioni che mi hai fatto: siccome sono fuori casa, domani mattina gli metto mano e posterò la soluzione. Intanto vi ringrazio davvero molto per i chiarimenti ed i consigli.

Sto iniziando a vedere anche il metodo delle equazioni di stato, così domani mattina provo a risolverlo in entrambi i modi.

Ancora grazie.

ElectroYou

Impostazione equazione circuito RLC

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Re: Impostazione equazione circuito RLC

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