ElectroYou

Salve a tutti,
se x(n) è un processo aleatorio WSS a media nulla avente autocorrelazione pari a ${r}_{x}(m)=\delta (m)+{\frac{1}{4}}^{}\delta (\left|m \right| - 1 )$ .

Si costruisca il segnale $z(n) = {(-1)}^{n} x(n)$ .

Il segnale z(n) sia posto in ingresso ad un sistema LTI che implementa la differenza prima ,
Se ne indichi l'uscita y(n).

a) La funzione di autocorrelazione e la PSD di z(n).
b) La funzione di autocorrelazione e la PSD di y(n).

Per quanto riguarda il punto a) credo di aver risolto bene in questo modo :

${R}_{zz}(n,m) = E\left[ z(n){z}^{*}(n-m)\right] =$

$= E\left[{(-1)}^{n}x(n) {(-1)}^{n-m}x(n-m) \right] =$

$= {(-1)}^{2n-m}E\left[x(n)x(n-m) \right] =$

$= {(-1)}^{-m} {r}_{xx}(m) = {R}_{zz}(m)$

Mentre la PSD la ricaverei dalla trasformata di Fourier della Rzz(m) .
Ho difficolta' per quanto riguarda il secondo punto , come faccio a ricavarmi l uscita y(n) , come agisce un sistema LTI che implementa la differenza prima ?

Grazie mille

Il concetto è questo: l'impulso di Dirac è un segnale ideale, fisicamente irrealizzabile, per cui non è possibile sperimentare realmente la risposta di una sistema ad una sua sollecitazione.
Anche il segnale a gradino è un segnale ideale perché, come l'impulso, presenta una discontinuità brusca in un punto (detto molto "terra terra").
Se siamo in un laboratorio di misure, ad esempio, tuttavia è decisamente più facile da approssimare un gradino con un segnale avente tempo di salita piuttosto stretto che un impulso. Ecco perché in molti libri o dispense accademiche si introduce la famosa risposta al gradino o risposta indiciale di un sistema LTI (tempo continuo e/o tempo discreto). Nel caso tempo discreto (quello del tuo esercizio), la risposta al gradino s(n)

si può scrivere esplicitamente così:

$s(n)=h(n) \star u(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)u(n-k)=\sum_{k-\infty}^{n}h(k)$

dove ho applicato il teorema della convoluzione valido per i sistemi LTI e, nell'ultimo passaggio, il fatto che u(n-k)=0

per

(cioè ne più e nemmeno la definizione di gradino nel dominio discreto).

Ora, se vogliamo dare un'interpretazione diversa a quanto appena detto, il significato della precedente relazione si può basare sulla proprietà commutativa del prodotto di convoluzione, secondo la quale s(n)

si può "vedere" come l'uscita di un sistema accumulatore avente risposta impulsiva u(n)

sollecitato in ingresso da h(n)

.

In altre parole, per ottenere la risposta al gradino partendo dalla risposta impulsiva, è sufficiente far passare quest'ultima da un sistema accumulatore.

Questo sistema pensalo come la "versione" tempo discreto dell'integratore tempo continuo. Ovvero questo sistema (detto anche sommatore corrente) è descritto dalla seguente relazione ingresso-uscita:

$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)$

e non fa altro che sommare tutti i valori del segnale d'ingresso fino all'istante

incluso; l'uscita y(n) dipende dai valori dell'ingresso x(k)

per $k \leq n$ (come vedi tale relazione ingresso uscita è la stessa ottenuta per la risposta indiciale :ok:

).

Torniamo a noi. Ribadisco: per ottenere la risposta al gradino partendo dalla risposta impulsiva, è sufficiente far passare quest'ultima da un sistema accumulatore. Ora, la risposta indiciale la posso scrivere in forma ricorsiva in questo modo:

s(n)=s(n-1)+h(n)

per cui ottengo la risposta impulsiva:

$h(n)=s(n)-s(n-1):=\Lambda _{1}[s(n)]$

dove il secondo membro definisce esattamente la differenza prima della risposta al gradino. :ok:

Ciao

jordan20 e grazie mille per il tuo intervento , dunque h(n) come mi hai fatto notare è proprio pari alla differenza z(n) - z(n-1) giusto ?
Ma poiché io non posseggo x(n) ma solo la sua autocorrelazione, come faccio a costruirmi z(n) ???

Attualmente sono fuori casa e non riesco a risponderti esaustivamente. Nel frattempo possiamo chiedere la cortesia, se sono disponibili, a

dimaios o

DirtyDeeds :ok:

ok , grazie mille .

Dovrei dunque ottenere x(t) a partire dalla sua funzione di autocorrelazione ?
Oppure ragionare nel dominio delle frequenze e quindi trasformare tutto considerando direttamente l uscita dal sistema LTI come PSD ?

gennyior ha scritto:dunque h(n) come mi hai fatto notare è proprio pari alla differenza z(n) - z(n-1) giusto ?

No.

è la risposta indiciale del sistema LTI, ovvero l'uscita a fronte di un ingresso a gradino u(n)

.

Nel tuo caso la risposta è invece y(n)

che puoi esprimere in funzione di x(n)

in forza della risposta impulsiva (la sommatoria) del sistema accumulatore che ti ho indicato in [2] e che puoi ricavare da z(n)

.

perdonami, ma in primis, quel segnale z(n) come me lo costruisco se di x(n) ho solo l autocorrelazione ?

Fermi tutti, una min...iata ho detto :!:

E' assolutamente giusto quello che hai scritto.

Per cui, in uscita dal sistema LTI che esegue la differenza prima, dovresti avere:

$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}z(k)=\sum_{k=-\infty}^{n}(-1)^{k}x(k)$

e di questa devi quindi calcolare l'autocorrelazione discreta:

$R_{y}(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}y(m)*y(n+m)$

e quindi, per il teorema di Wiener, la PSD.

Pero' non mi torna qualcosa , y(n) è l'uscita del mio sistema LTI , ma considerando la sommatoria del solo segnale z(n) come viene implementata la sua differenza prima ?

$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}z(k)=\sum_{k=-\infty}^{n}(-1)^{k}x(k)$

Peraltro l autocorrelazione discreta è per definizione pari a : Ryy(n,m)=E[y(n)y(n-m)]

poiché stiamo considerando segnali aleatori.

Da un punto di vista analitico , secondo te quale dovrebbe essere la risoluzione al netto di queste definizioni ?

ElectroYou

Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: dubbio uscita sistema LTI x processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio

Re: Dubbio uscita sistema LTI processo aleatorio