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Supponiamo di avere due reti a scala che si estendono infinitamente su un lato, formate da resistenze Rs in serie e resistenze Rp in parallelo.
Una rete parte con il ramo serie, l'altra con il ramo parallelo.



Qual e` l'impedenza di ingresso nei due casi? Qual e` il modo piu` semplice per calcolarla? Che cosa capita quando Rs=Rp?

Al solito i "retisti" tacciano :)

Ecco la soluzione

MMMh, vedendo la conchiglia di rusty ho il sospetto che c'entri la sezione aurea. E mi pare di ricordare che admin a suo tempo avesse scritto un bellissimo articolo al riguardo. E, per giunta, che ci fosse un esempio simile...
Indagherò.

L'intuizione è giusta, l'articolo-recensione sulla sezione aurea c'è, ma non è su quello il calcolo di , ma, come potrai immaginare, in un mirabile articolo di RenzoDF

Ta-dah, trovato:
questo è l'articolo di admin, all'interno del quale si fa rimando ad uno dei soliti articolimostruosi di RenzoDF. Lì c'è tutto.
Hovintoqualchecosa?

Perdiana, admin
Mentre ero impegnato a visualizzare in anteprima la mia risposta, hai infilato la tua. E dire che stavolta credevo di essere stato sveltissimo
Chapeau.

Anche se non la vedete, ho fatto due brutte figuracce, una di fila all'altra. Meglio che mi dimentichi tutto.

Mi e` piaciuta la risposta di rusty!

Il modo piu` semplice per calcolare l'impedenza delle due reti, come gia` mostrato nel solito articlo mostruoso, come giustamente definito da sebago, e` di supporre di conoscere l'impedenza che si cerca, aggiungere una cella, e la nuova impedenza dovra` essere ancora uguale a quella di prima, dato che essendo la rete infinita, un cella in piu` o una in meno non cambia nulla. Nello schema sono evidenziate le due celle aggiunte all'inizio della rete.



Per trovare dalla prima rete basta scrivere che la resistenza che si sta cercando in parallelo a e poi in serie a deve ancora fare , da cui: e l'equazione di secondo grado e` Risolvendo e prendendo la soluzione positiva si ha

Per la seconda rete si puo` procedere in modo analogo, oppure si puo` osservare che se si toglie solo una Rs dall'inizio della prima rete, si ottiene la seconda rete e quindi



Se definiamo le formule di prima si semplificano in
e

Il prodotto , ricordando i prodotti notevoli risulta essere uguale a .

Se , cioe` le impedenze risultano essere che e` appunto il rapporto aureo.

Nel caso di si ha e questa e` la rete usata nei convertitore D/A di tipo R-2R. Questa condizione permette di realizzare una rete finita in cui le impendenze sono "a regime", cioe` sempre esattamente e usando solo resistenze di valore R e 2R.

Dato che ci sono infiniti quadrati perfetti della forma (tutti i quadrati dei numeri dispari sono di quel tipo) ne consegue che ci sono infinite rete a scala fatte da resistenze "intere" che danno valori interi di e . Ad esempio se , si ha che e