ElectroYou

integrale tra 0 e t dell'impulso delta di dirac?

jmonty ha scritto:integrale tra 0 e t dell'impulso delta di dirac?

Domanda aperta: perché il problema è mal posto?

:mrgreen:

Zero incluso o escluso ?

Istintivamente direi che vale 1, ma che significato
ha una domanda del genere?
la delta di Dirac non è una funzione vera e propria,
quindi che senso ha farne l'integrale tra 0 e t?

...perché una delta di Dirac non è una funzione... è una distribuzione e quindi l'unico modo lecito di "toccarla", di "leggerla", di "vederla" è fare la sua phi-misura

....che poi sarebbe la seminorma indotta dalle funzioni test $\|f\|_\varphi=\int_\mathbb{R}f\cdot\varphi$

... e una funzione test $\varphi\in\mathcal{D}\left(\mathbb{R}\right)$ è una funzione in $\text{C}^\infty$ a supporto compatto ...

Ora per definizione una delta di Dirac applicata in t=0 è una distribuzione che ha per phi-misura $\varphi(0)$ -questa è quella che noi praticoni chiamiamo proptietà di campionamento della delta-

L'integrale proposto però non è con una funzione test, e con un rettangolo....
$\int_0^t\delta(t)\,\text{d}t=\int_\mathbb{R}\delta(t)\text{rect}(\ldots)\,\text{d}t$
che non essendo in $\text{C}^\infty$ non rientra nelle definizioni sopra...

questa cosa si aggira se la delta è applicata all'interno dell'intervallo aperto (0,t)

cioè è applicata dove il mio rettangolo è in effetti una costante pari ad uno, potrei a questo punto miltiplicare per un'opportuna funzione test ed ottenere appunto 1 come integrale.

Lo stesso se la delta è applicata in $(-\infty,0)$ oppure $(t,\infty)$ ed in questo caso con opportuna funzione test ritorna 0.

Se invece la delta è applicata proprio in 0 o in t, sui "fronti del rettangolo non otteniamo niente, non definito.

Però alle volte (anzi spesso) ci farebbe proprio comodo di applicare la delta proprio lì dove non si può, in questo caso si abusa un po' e si definiscone delle delta unilatere... ma credo proprio che comunque di un abuso si tratti...

Il tutto al netto di possibili cavolate crept in

Alcune aggiunte e precisazioni a post precedente scritto un po' di fretta...

carloc ha scritto:....che poi sarebbe la seminorma indotta dalle funzioni test $\|f\|_\varphi=\int_\mathbb{R}f\cdot\varphi$

Da un punto di vista operativo si deve prendere la predistribuzione, cioè la successione di funzioni che serve a definire una distribuzione, se non sbaglio devono essere tutte in $\text{L}_\text{LOC}^1(\mathbb{R})$

$f=[f_1,f_2,f_3\ldots]$

nel caso della delta potrebbe ad esempio essere la classica successione di rettangoli di area unitaria e base tendente a zero che tra l'altro sarebbe addirittura in $\text{L}^1(\mathbb{R})$ per definizione

e poi fare semplicemente

$\|f\|_\varphi=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_\mathbb{R}f_k\cdot\varphi$

carloc ha scritto:... e una funzione test $\varphi\in\mathcal{D}\left(\mathbb{R}\right)$ è una funzione in $\text{C}^\infty$ a supporto compatto ...

a parte che ovviamente è $\varphi\in\text{C}^\infty(\mathbb{R})$ se ben ricordo il supporto compatto, cioè chiuso, serve per garantire l'integrabilità con una generica $f_k\in\text{L}_\text{LOC}^1(\mathbb{R})$ e potrebbe non essere necessario con la predistribuzione "a rettangoli di area unitaria"

carloc ha scritto:Ora per definizione una delta di Dirac applicata in t=0 è una distribuzione che ha per phi-misura $\varphi(0)$ -questa è quella che noi praticoni chiamiamo proptietà di campionamento della delta-

e più in generale una delta applicata in to ha per phi-misura $\varphi(t_0)$

carloc ha scritto:questa cosa si aggira se la delta è applicata all'interno dell'intervallo aperto cioè è applicata dove il mio rettangolo è in effetti una costante pari ad uno, potrei a questo punto miltiplicare per un'opportuna funzione test ed ottenere appunto 1 come integrale.

ammesso che sia indispensabile un supporto compatto -cosa di cui sono sempre meno convinto- basta prendere una $\varphi$ tale che se la delta è applicata in to

i) $\varphi(t_0)=1$ e

ii) $\text{supp}(\varphi)\subset(0,t)$

altrimenti si prende semplicemente $\varphi=1$ che comunque è in $\text{C}^\infty(\mathbb{R})$

carloc ha scritto:Lo stesso se la delta è applicata in $(-\infty,0)$ oppure $(t,\infty)$ ed in questo caso con opportuna funzione test ritorna 0.

idem con patate con

$\varphi(t_0)=0$ e $\text{supp}(\varphi)\subset(-\infty,0)\cup(t,\infty)$

oppure $\varphi=0\;\;\in\text{C}^\infty(\mathbb{R})$

ancora e di nuovo con beneficio d'inventario.

Se ti può servire

jmonty, oltre i già eminenti ed esaustivi post precedenti, qui c'è qualche mio appunto di Fisica Matematica preso a lezione in merito all'argomento: http://www.electroyou.it/jordan20/wiki/distribuzioni-qualche-cenno-teorico.

Dovevo calcolare questo integrale, per risolvere un sistema regolare lineare a dimensioni finite e tempo invariante con la formula x(t)=e^Ft*x(0)+integrale(e^F(t-e)Gu(e)de) per e compreso tra 0 e t. Questo è il metodo voluto dal professore, con ingresso u(t) un impulso. Doveno la formula sopra citata rispettare il principio di casualità x(t=0)=x(0). Ecco perché mi serviva calcolare questo integrale.

jmonty ha scritto:Dovevo calcolare questo integrale, per risolvere un sistema regolare lineare a dimensioni finite e tempo invariante con la formula x(t)=e^Ft*x(0)+integrale(e^F(t-e)Gu(e)de) per e compreso tra 0 e t. Questo è il metodo voluto dal professore, con ingresso u(t) un impulso. Doveno la formula sopra citata rispettare il principio di casualità x(t=0)=x(0). Ecco perché mi serviva calcolare questo integrale.

Se non mi sbaglio, qualche big del sito ti ha già detto che le formule si postano in latex.
Ci aggiungo anche un bellissimo editor, con il quale potrai scrivere comodamente le formule da riportare poi qui.
Per ora spero che non ti arrivino voti negativi, ma non tirare troppo la corda...

Per entrare nel merito,

carloc ti ha spiegato bene perché la domanda è mal posta.
Abbi pazienza, ma il professore non può averti chiesto di calcolare una cosa senza senso, scusa...
Rileggi attentamente quanto scritto da

carloc.
Se poi ti serve aiuto siamo tutti qui.

Si ho sbagliato ad non utilizzare il latex, l'unica cosa che non so come inserire il simbolo di integrale

ElectroYou

quanto vale questo integrale?

quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?

Re: quanto vale questo integrale?