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Indice

1 Sommario
2 1. Considerazioni preliminari sulla delta di Dirac
3 2. Topologie, funzionali e distribuzioni

Sommario

Molto spesso, chi affronta gli studi di ingegneria, si ritrova a manipolare in varie salse, la ben nota "delta di Dirac". Senza alcuna presunzione di completezza, questo articolo si propone di approcciare in modo più o meno rigoroso (ma non troppo, visto che è una sorta di sintesi tra i miei appunti del corso di Fisica Matematica e il libro del mio docente) la "teoria delle distribuzioni", da cui discendono sostanzialmente tutte le proprietà di quello che, ingegneristicamente parlando, definiamo "segnale a impulso". Tuttavia questo approccio richiede qualche conoscenza preliminare sugli spazi di Hilbert, sulla serie e trasformata di Fourier e sulla teoria della misura di Lebesgue, ai quali si rimanda il lettore. L'articolo sarà diviso in due parti per non annoiare troppo (come spero) chi vorrà leggerlo: nella prima si analizzerà la delta di Dirac in generale e la sua definizione rigorosa nell'ambito delle distribuzioni; nella seconda si tratterà la derivata di una distribuzione, altre proprietà rilevanti della delta di Dirac e un cenno all'estensione della trasformata di Fourier alle distribuzioni.

1. Considerazioni preliminari sulla delta di Dirac

In molte applicazioni ingegneristiche, ad esempio in Elettrotecnica, in Campi Elettromagnetici, in Teoria Dei Segnali e così via, la delta di Dirac viene formalmente introdotta tramite il seguente integrale:

$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-ipx}\text{d}p$

Che tale relazione sia formale segue del fatto che, ad esempio, la funzione integranda non è assolutamente integrabile:

$\int_{\mathbb{R}}\left | \frac{e^{-ipx}}{2\pi } \right | \text{d}p=\infty$

Ma non solo: l'espressione introdotta implica che dovrebbe aversi:

$\delta (0)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty } \text{d}p=\infty$

D'altra parte, in punti diversi dall'origine, si ha che:

$\lim_{R,\infty } \frac{1}{2\pi }\int_{-R}^{R}e^{-ipx} \text{d}p$

non esiste in senso classico, infatti:

$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-ipx}dp=\frac{1}{2\pi }\lim_{R,\infty }\int_{-R}^{+R}e^{-ipx} \text{d}p=\frac{1}{2\pi }\lim_{R,\infty }\left[ \frac{e^{-ipx}}{ix}\right]_{-R}^{+R}=$
$=\lim_{R,\infty }\frac{1}{2\pi }\frac{e^{iRx}-e^{-iRx}}{ix}=\lim_{R,\infty }\frac{1}{\pi }\frac{\sin (Rx)}{x}$

e tale limite, per $x\neq 0$ non esiste. Ci rendiamo conto quindi che un tale oggetto, se esiste, deve essere estremamente singolare, nel senso che difficilmente potrà appartenere a qualche insieme "non patologico" di funzioni con cui si ha normalmente a che fare, dal momento che non si sa bene quanto valga se $x\neq 0$ ed assume il valore $\infty$ nell'origine.
Un'altra proprietà della delta che viene spesso presentata nelle applicazioni, senza soffermarsi minimamente sul suo formalismo, è la seguente:

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_{0}) \text{d}x=f(x_{0})$

Questa uguaglianza è certamente non applicabile per funzioni appartenenti allo spazio di Hilbert $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ (spazio delle funzioni a quadrato-integrabili), poiché se si considerano due funzioni L-equivalenti (equivalenti secondo Lebesgue) per le quali:

$\int_{\mathbb{R}}f_{1}(x)\delta (x-x_{0}) \text{d}x$

e

$\int_{\mathbb{R}}f_{2}(x)\delta (x-x_{0}) \text{d}x$

i due integrali:

non necessariamente esistono, per esempio nel caso banale per cui le due funzioni non siano definite in $x 0$ ;
se anche esistessero entrambi, potrebbero non essere necessariamente coincidenti, assumendo che $f_{1}(x_{0})\neq f_{2}(x_{0})$ (sappiamo infatti che la misura di Lebesgue dell'insieme $\left \{ x_0 \right \}$ è nulla).

Pertanto, la definizione della delta di Dirac sopra introdotta, è valida per una famiglia di funzioni che siano opportunamente regolari, nella fattispecie è richiesto che $f (x)$ appartenga all'insieme:

$\mathcal{S}(\mathbb{R})=\left \{ g(x)\in C^{\infty }:\lim_{\left | x \right |,\infty }\left | x \right |^{k}g^{(l)}(x)=0,\,\,\,\forall k,l \in \mathbb{{N}}_0 \right \}$

(cioè tale che $g k (x)$ tenda a zero più rapidamente dell'inverso di ogni potenza) ovvero che $f (x)$ appartenga all'insieme:

$\mathcal{D}(\mathbb{R})=\left \{ h(x)\in C^\infty \right \}$

ed a supporto compatto in $\mathbb{R}$ (ricordiamo che il supporto di una funzione $h (x)$ è la chiusura dell'insieme delle $x$ appartenenti al dominio di $h (x)$ in corrispondenza delle quali si ha $h(x)\neq 0$ .
Provando adesso a fornire un significato rigoroso alla nostra relazione di partenza, la teoria della serie di Fourier ci mostra come, comunque scelti due numeri reali a e b, tali che $a < b$ , risulta:

$\lim_{n,\infty }\int_{a}^{b}f(x) \cos (nx) \text{d}x=\lim_{n,\infty }\int_{a}^{b}f(x) \sin (nx) \text{d}x=\lim_{n,\infty }\int_{a}^{b}f(x)e^{inx} \text{d}x=0$

per ogni funzione $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ . Osserviamo allora che le successioni $\left \{ \cos (nx) \right \}$ , $\left \{ \sin (nx) \right \}$ e $\left \{ e^{inx} \right \}$ , al divergere di n, medino a zero per ogni funzione di $\mathcal{L}^2(a,b)$ ; questo fatto importante dunque ci suggerisce come sia possibile rivedere la definizione della delta di Dirac in senso debole, vale a dire mediando o, più precisamente, pesando la sua definizione formale su un adeguato spazio di funzioni che chiameremo test. Riprendiamo dunque quella uguaglianza ricavata sopra, per tutti i valori reali della x esclusa l'origine, relativa alla delta:

$\delta (x)=\lim_{R,\infty }\frac{1}{\pi }\frac{\sin (Rx)}{x}$

Per quanto appena detto, proviamo a vedere cosa succede se consideriamo la forma debole di questa relazione, cioè pesando la delta di Dirac con una funzione test:

$\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x) \text{d}x=\lim_{R,\infty }\frac{1}{\pi }\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin (Rx)}{x}f(x) \text{d}x=0$

valida per ogni funzione $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ , per cui $\frac{f(x)}{x} \in \mathcal{L}^2(a,b)$ è, ad esempio, nulla al di fuori dell'intervallo (a,b).
Abbiamo quindi fatto un ulteriore passo avanti nel cercare di trovare una definizione rigorosa per la delta di Dirac che possa avvicinarsi al concetto di funzione acquisito nei corsi base di Analisi Matematica; infatti, anche se attribuissimo il valore nullo alla delta per $x\neq 0$ , come potrebbe suggerire la precedente relazione, resta assodato il fatto che non solo la $δ(x)$ ha una discontinuità nell'origine ( $x = 0$ ), ma che tale discontinuità è addirittura pari a $\infty$ !

2. Topologie, funzionali e distribuzioni

2.1 Cenni sugli spazi $\mathcal{D}$ ed $\mathcal{S}$

Definiamo, con il rigore matematico adeguato, gli spazi di funzioni che abbiamo definito nella sezione precedente:

$\mathcal{D}(\mathbb{R})$ è detto spazio delle funzioni test;
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ è detto spazio delle funzioni a decrescenza rapida.

Vale la seguente inclusione:

$\mathcal{D}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^2(\mathbb{R})$

Ciò è evidente, per come abbiamo definito questi insiemi, in quanto una funzione di classe $C^{\infty}$ a supporto compatto decresce all'infinito certamente più rapidamente dell'inverso di ogni potenza, per il fatto stesso di essere addirittura nulla al di fuori di un dato insieme compatto; ne deriva quindi la prima inclusione. Inoltre, essendo ogni funzione di $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ esente da singolarità al finito e rapidamente decrescente all'infinito, è altresì a quadrato-integrabile; ne deriva quindi la seconda inclusione. Tuttavia gli spazi $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ e $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ sono non completi nella norma $\left \| . \right \|_{2}$ , poiché esistono delle successioni di funzioni di $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ o di $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ che convergono nel senso di Cauchy ad una funzione di $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ che, però, non appartiene né a $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ né a $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ (violando la condizione necessaria di completezza per uno spazio vettoriale lineare). Si può però introdurre una nuova topologia per questi spazi di funzioni che ne preservi la loro completezza : indichiamo con $\tau _{\mathcal{D}}$ e $\tau _{\mathcal{S}}$ queste due nuove topologie. Nella fattispecie, si definisce quanto segue:

Definizione 2.1.1: Una successione di funzioni $\left \{ \varphi _{j} \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) \right \}$ converge nella topologia $\tau _{\mathcal{D}}$ ad una funzione $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ se:

esiste un insieme limitato $I \subset\mathbb{R}$ unico che contiene sia il supporto di ogni funzione $\varphi _{j}(x)$ , sia il supporto della funzione $\varphi(x)$ ;
la successione $\varphi_{j}^{(k)}(x)$ è uniformemente convergente a $\varphi^{(k)}(x)$ , per ogni $k \in {{\mathbb{N}}}_0$ .

Vale quindi il seguente:

Teorema 2.1.2: Lo spazio delle funzioni test è completo rispetto alla topologia $\tau _{\mathcal{D}}$ .

Per analizzare la topologia $\tau _{\mathcal{S}}$ , si deve definire su $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ , piuttosto che una norma, una famiglia di seminorme come:

$p_{k,j}(f):=\sup_{x\in \mathbb{R}}\left | x^{k}f^{(j)}(x) \right |\,\,\,\forall k,j=0,1,2,3,...$

E' sottinteso che le seminorme sono mappe che soddisfano alle condizioni di linearità, ergo omogeneità e additività (non si riportano le definizioni ed i passaggi per non appesantire la trattazione); per cui:

Definizione 2.1.3: Una successione di funzioni $\left \{ \varphi _{l} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) \right \}$ converge nella topologia $\tau _{\mathcal{S}}$ ad una funzione $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ se $p_{k,j}(\varphi _{l}-\varphi ) \to 0$ quando $l \to \infty$ per ogni $k, j = 0,1,2,3,...$ .

Analogamente, vale il seguente:

Teorema 2.1.4: Lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida è completo rispetto alla topologia $\tau _{\mathcal{S}}$ .

2.2 Funzionali

Diamo la seguente definizione:

Definizione 2.2.1: Un funzionale su uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ è una mappa $F:\mathcal{D}(F) \to \mathbb{C}$ , dove $\mathcal{D}(F)$ è il dominio di F, che sia lineare: $F [α 1 f 1 + α 2 f 2] = α 1 F [f 1] + α 2 F [f 2]$ , per ogni $\alpha _{1},\alpha _{2} \in \mathbb{C}$ e per ogni $f_{1},f_{2} \in \mathcal{D}(F)$ .

Riprendendo la nostra delta di Dirac e una funzione a decrescenza rapida; definiamo:

$F_{x_{0}}[f]:=f(x_{0})=\int_{\mathbb{R}}\delta (x-x_{0})f(x) \text{d}x$

il funzionale associato alla $δ(x - x 0)$ .

2.3 Distribuzioni

Consideriamo adesso, tra i funzionali lineari definiti nello spazio di Hilbert $\mathcal{L}^{2}(\mathbb{R})$ , quelli che risultano continui:

Definizione 2.3.1: Un funzionale $T:\mathcal{D}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}$ è ivi continuo se, per ogni successione $\left \{ \varphi _{j} \right \} \subset \mathcal{D}(\mathbb{R})$ convergente nella topologia $\tau _{\mathcal{D}}$ a una funzione $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , risulta altresì $T_{\varphi _{j}} \to T_{\varphi }$ in $\mathbb{C}$ .

Possiamo finalmente definire quanto segue:

Definizione 2.3.2: Un funzionale continuo su $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ è una distribuzione. L'insieme di tutte le distribuzioni è indicato con $\mathcal{D}^{'}(\mathbb{R})$ .

Sostituendo lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida nella Definizione 2.3.1 al posto di quello delle funzioni test, possiamo definire:

Definizione 2.3.3: Un funzionale continuo su $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ è una distribuzione temperata. L'insieme di tutte le distribuzioni temperate viene indicato con $\mathcal{S}^{'}(\mathbb{R})$ .

Vale la seguente inclusione generale (che completa quella data in precedenza):

$\mathcal{D}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}^{'}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{D}^{'}(\mathbb{R}),\,\,\,\forall p\geq 1$

Dimostriamo adesso che la delta di Dirac $δ(x - x 0)$ è una distribuzione (e anche una distribuzione temperata, ma non diamo qui dimostrazione); partiamo dal funzionale associato alla delta e verifichiamo che sia ben definito, nonché lineare su $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ :

sia $f(x) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , pertanto $F_{x_{0}}[f]=\int_{\mathbb{R}}f(x)\delta (x-x_{0}) \text{d}x \in \mathbb{C}$ ;
$F_{x_{0}}[\alpha f+\beta g]=\int_{\mathbb{R}}(\alpha f(x)+\beta g(x))\delta (x-x_{0}) \text{d}x=\alpha f(x_{0})+\beta g(x_{0})=$

$=\alpha \int_{\mathbb{R}}f(x)\delta (x-x_{0}) \text{d}x+\beta \int_{\mathbb{R}}g(x)\delta (x-x_{0}) \text{d}x=$

$=\alpha F_{x_{0}}[f]+\beta F_{x_{0}}[g],\,\,\,\forall f,g \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ .

Occorre ora mostrare che il funzionale è anche continuo, vale a dire che se $\lim_{n}f_{n}(x)=f(x)$ nel senso della topologia $\tau _{\mathcal{D}}$ , allora $F_{x_{0}}[f_{n}]=f_{n}(x_{0}) \to F_{x_{0}}[f]=f(x_{0})$ ; ma questo è ovvio per quanto esposto nella Definizione 2.1.1, che implica, in particolar modo, la convergenza puntuale della $f n (x)$ per $x = x 0$ , cioè propriamente $f_{n}(x_{0}) \to f(x_{0})$ .
Prendiamo adesso in considerazione la successione $\delta _{n}(x)=n\,\text{rect} (nx)$ , dove:

$\text{rect} (x)=\left\{\begin{matrix}1\,\,\,\,\,-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{altrove} \end{matrix}\right.$

Risulta quindi, per n naturale:

$\delta _{n}(x)=\left\{\begin{matrix} n\,\,\,\,\,-\frac{1}{2n}\leq x\leq \frac{1}{2n}\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{altrove} \end{matrix}\right.$

Graficamente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Osserviamo che la successione $δ n (x)$ converge non puntualmente; infatti si ha convergenza nell'origine solo se tale successione è ivi di Cauchy, cioè se:

$\forall \varepsilon >0 \,\,\,\exists n_{\varepsilon }>0 : \forall n,m>n_{\varepsilon } \Rightarrow \left | \delta _{n}(0)-\delta _{m}(0) \right |<\varepsilon$

Ma questo non accade perché fissando comunque un valore per $n_{\varepsilon }$ , scegliendo due opportuni valori di m ed n, ad esempio $m>n_{\varepsilon }$ e $n=2m>n_{\varepsilon }$ risulta:

$\left | \delta _{n}(0)-\delta _{m}(0) \right |=\left | \delta _{2m}(0)-\delta _{m}(0) \right |=\left | 2m-m \right |=m$

che, essendo certamente maggiore di $n_{\varepsilon }$ per costruzione, non si può rendere piccolo arbitrariamente. Inoltre la non convergenza puntuale implica la non convergenza uniforme; tuttavia se prendiamo una funzione a decrescenza rapida e la pesiamo con la successione $δ n (x)$ , otteniamo:

$\lim_{n,\infty }\int_{\mathbb{R}}\delta _{n}(x)f(x) \text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\delta(x)f(x) \text{d}x,\,\,\,\forall f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$

infatti:

$\int_{\mathbb{R}}\delta_{n}(x)f(x) \text{d}x=n\int_{-\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{2n}}f(x) \text{d}x=n\left [ \left ( \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n} \right )f(\xi _{n}) \right ]=f(\xi _{n})$

dove si è adoperato il teorema della media per il calcolo dell'integrale. Per n che diverge, l'intervallo $\left [ -\frac{1}{2n},\frac{1}{2n} \right ]$ si rimpicciolisce sempre di più, per cui possiamo dire che, al limite, il punto $ξ n$ converge necessariamente all'origine. Si può concludere dunque che, essendo la funzione peso continua ovunque per ipotesi, si ha:

$\lim_{n,\infty }\int_{\mathbb{R}}\delta _{n}(x)f(x) \text{d}x=\lim_{n,\infty }f(\xi _{n})=f(0)$

Dalla definizione data per il funzionale associato alla delta, sappiamo che:

$f(0)=\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x) \text{d}x=F_{0}[f]$

per cui si conclude che, sebbene non esista puntualmente il $\lim_{n,\infty }\delta _{n}(x)$ , esista invece il seguente limite:

$\lim_{n,\infty }\int_{\mathbb{R}}\delta _{n}(x)f(x) \text{d}x,\,\,\,\forall f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$

e tale limite è esattamente pari a $\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x) \text{d}x$ .

Questo rilevante risultato è estendibile al caso su cui ci siamo soffermati nella prima sezione dell'articolo: eravamo pervenuti a una relazione di questo tipo:

${\delta^* }_{n}(x):=\frac{1}{2\pi }\int_{-n}^{n}e^{ipx} \text{d}p=\frac{\sin (nx)}{\pi n}$

che è estendibile per continuità nell'origine a ${\delta^* }_{n}(0)=\frac{n}{\pi }$ . Anche qui, il limite per n che diverge non esiste; esiste invece questo limite:

$\lim_{n,\infty }\int_{\mathbb{R}}{\delta^* }_{n}(x)f(x) \text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\delta (x)f(x) \text{d}x,\,\,\,\forall f(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$

Quanto detto, ci informa che la distribuzione $δ(x)$ è approssimabile mediante diverse successioni di funzioni ed, in generale, ci consente di introdurre la seguente definizione di convergenza:

Definizione 2.3.4: Una successione di funzioni $f n (x)$ è detta convergere alla distribuzione $f (x)$ nel senso delle distribuzioni (o in senso debole), se risulta:

$\lim_{n,\infty }\int_{\mathbb{R}}f_{n}(x)\varphi (x) \text{d}x=\int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi (x) \text{d}x,\,\,\,\forall \varphi (x) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$

Esiste una strategia a valenza generale che ci consente di costruire delle opportune successioni di funzioni $d n (x)$ che approssimino in senso debole la distribuzione delta: sia D(x) una funzione pari, continua e di classe $\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ (spazio delle funzioni integrabili) e tale che $\int_{\mathbb{R}}D(x) \text{d}x=1$ . Allora la successione $d n (x) = n D (x)$ rappresenta la $δ(x)$ , nel senso che, ad esempio $\forall \varphi (x) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , risulta:

$\lim_{n,\infty }\int_{\mathbb{R}}d_{n}(x)\varphi (x) \text{d}x=\int_{\mathbb{R}}\delta (x)\varphi (x) \text{d}x=\varphi (0)$

Conclusioni alla prima parte

Conoscere una distribuzione o una distribuzione temperata f(x) vuol dire, concretamente, conoscere il modo in cui la f(x) agisce sulle funzioni test, in altri termini conoscere:

$f(\varphi ):=\int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi (x) \text{d}x,\,\,\,\forall \varphi (x) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})\,\,\,(o\,\,\, \forall \varphi (x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}))$

Possiamo ripetere qui quanto detto precedentemente a proposito della delta di Dirac: la scrittura $\int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi (x) \text{d}x$ è, generalmente, comoda ma puramente formale, poiché, per distribuzioni non regolari, non esiste alcuna funzione f(x) propriamente detta che la rappresenti nel senso visto quando abbiamo definito il suo funzionale.
Pef finire, sulle distribuzioni, con una certa cautela, è possibile operare come si fa abitualmente con le funzioni ordinarie; ad esempio:

due distribuzioni sono uguali se agiscono nello stesso modo su ogni funzione test:

$f_{1}=f_{2}\Leftrightarrow f_{1}(\varphi )\int_{\mathbb{R}}f_{1}(x)\varphi (x) \text{d}x=\int_{\mathbb{R}}f_{2}(x)\varphi (x) \text{d}x=f_{2}(\varphi )$ ;

date due distribuzioni, la loro somma è data da:

$f_{1}+f_{2}\rightarrow (f_{1}+f_{2})(\varphi )=f_{1}(\varphi )+f_{2}(\varphi )$ ;

moltiplicazione per numeri complessi:

$\alpha f \to (\alpha f)(\varphi )=\alpha (f(\varphi ))$ .

Bibliografia

Appunti delle lezioni di Fisica Matematica tenute dal Prof. Fabio Bagarello presso il Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica dell'Università Degli Studi Di Palermo;
Fabio Bagarello - Fisica Matematica (Zanichelli 2007).

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Distribuzioni: qualche cenno teorico (Parte I)

Indice

Sommario

1. Considerazioni preliminari sulla delta di Dirac

2. Topologie, funzionali e distribuzioni