ElectroYou

Buongiorno a tutti,
sto cercando in rete se esista un teorema un enunciato in analisi complessa sul limite degli zeri di una funzione. Ho una funzione complessa in $\lambda$ :

$f(\lambda) = \lambda^4 +2b\lambda^3 + (3\gamma + b^2)\lambda^2 + 3b\gamma\lambda + 3\gamma^2,$

con $\gamma = K sech^2(\xi)$ , dove $\xi$ è un parametro e

e

delle costanti.

Siccome vale il seguente limite

$\lim_{\xi \to \infty} \gamma = 0,$

allora

$\lim_{\xi \to \infty} f(\lambda) = \lambda^4 +2b\lambda^3 + b^2\lambda^2 = g(\lambda).$

Dal momento che $g(\lambda)$ è il limite di $f(\lambda)$ , cosa posso dire del limite degli zeri di $f(\lambda)$ ?
Dal punto di vista numerico so che aumentando $\xi$ due zeri di $f(\lambda)$ tendono a zero e infatti $g(\lambda)$ ha due zeri in zero. Ma c'è un enunciato, una proposizione matematica che, sotto certe ipotesi, dica qualcosa sul limite degli zeri di una funzione o sugli zeri del limite di una funzione?

Se la funzione fosse lineare in $\gamma$ sembrerebbe un problema di luogo delle radici che si sa come calcolare, almeno asintoticamente. Con funzioni non lineari del parametro forse si puo` fare qualcosa di simile.

Meglio domandare a chi sa, vero

dimaios e

PietroBaima?

Io invece non ho capito bene la richiesta: ti interessa sapere come variano gli zeri di $f(\lambda)$ al variare del parametro $\xi$ ?

Essendo la f non lineare non puoi fare molto, però puoi comunque dimostrare che se aumenti $\xi$ allora due soluzioni vanno a zero in modo piuttosto semplice.

Dalla equazione sai che

$\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=3\gamma^2$

e che

$\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3+ \lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_4+ \lambda_1\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4+ \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=-3\gamma b$

se $\gamma \rightarrow 0$ abbiamo

$\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=0$

quindi significa che almeno una delle quattro soluzioni deve essere zero. Supponiamo sia $\lambda_1$ (se poi è un’altra non cambia nulla) e applichiamo la condizione alla seconda equazione:

$\lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=0$

che significa che almeno un’altra deve essere nulla.
Questo vale anche se $\gamma$ è una funzione di una variabile esterna.

Scusate se tardo nel rispondere, ero convinta di aver attivato le notifiche per eventuali risposte, ma non le ho ricevute.
Grazie per le vostre risposte!

PietroBaima ha scritto:Dalla equazione sai che

$\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=3\gamma^2$

e che

$\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3+ \lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_4+ \lambda_1\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4+ \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=-3\gamma b$

Chiedo scusa, probabilmente è una cosa ovvia, ma non mi è chiarissima questa premessa.
Grazie

Il termine noto dell’equazione di partenza è il prodotto delle soluzioni, mentre il termine di primo grado è l’opposto della somma delle permutazioni del prodotto delle soluzioni a cui ne manca una.
Il termine di secondo grado è la somma delle permutazioni del prodotto delle soluzioni a cui ne mancano due eccetera eccetera (ricordando di alternare i segni).

(x-x_0)(x-x_1)=x^2-(x_0+x_1)x+x_0x_1

(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)=x^3-(x_0+x_1+ x_2)x^2+(x_0x_1+ x_0x_2 +x_1x_2)x-x_0x_1x_2

eccetera eccetera

Gentilissimo, grazie mille!

Ah, naturalmente vale solo per polinomi monici.

Personalmente avrei approcciato algebricamente l'equazione visto che il 4° grado può essere risolto in forma chiusa.
Le soluzioni ( complesse ) saranno funzione del parametro e si può tracciare l'andamento degli zeri in funzione della sua variazione.
Al limite la soluzione dovrebbe coincidere con quella indicata nel post iniziale.

ElectroYou

Zeri del limite di una funzione

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