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Salve a tutti!!!
Sono alle prese con l'esame di teoria dei sistemi e mi ritrovo con un dubbio inerente argomenti di algebra lineare.
Nello specifico,coome forse si intuisce dal titolo,non riesco a capirecosa si intenda quando si dice che un determinato vettore appartenga all'immagine di una matrice.
Ad esempio,in un esercizio mi ritrovo il vettore di stato(insomma un vettore)

e nella soluzione dell'esercizio vi è scritto che questo vettore non appartiene all'imagine della matrice B
dove B è una matrice di dimensioni 3x3.
Cosa si intende?cos'è l'immagine di una matrice?
e qual è il procedimento per capire se un determinato vettore appartiene o meno all'immagine di una matrice?

Una matrice può rappresentare una applicazione lineare (una funzione lineare) fra due spazi, scelta una base di riferimento.
Parlare di immagine di una matrice significa quindi parlare dell'immagine della funzione.
L'immagine della funzione è l'insieme di tutti (e soli) i vettori del codominio per i quali esiste un vettore del dominio applicando al quale la funzione fornisce proprio uno (o più) di quei vettori del codominio.

Per cui dire che quel vettore V che ti hanno dato non appartiene all'immagine della matrice A significa che non potrai trovare alcun vettore X di partenza nel dominio che, moltiplicato a sinistra per la matrice (A•X) fornisce come risultato proprio V (quindi A•X≠V per ogni X del dominio). Ad es. perché A non ha rango pieno.

Per approfondire:
https://www.electroyou.it/asdf/wiki/le- ... ni-lineari
Oppure
https://www.youmath.it/lezioni/algebra- ... agine.html