Quando un segnale periodico ha solo armoniche pari?

[GioArca67]

Se vuoi un po' divertirti prova:
https://elsenaju.eu/Calculator/it/Serie-di-Fourier.htm

attento a scrivere bene l'intervallo di calcolo (poco sopra la f(x)), altrimenti le frequenze sono sballate, e pure i coefficienti...

[jaelec]

Vediamo se ho capito...

Un segnale periodico di periodo T e sviluppato in serie di Fourier come tale, può avere esclusivamente armoniche pari solo e solo se tale segnale è anche periodico di periodo T/2 (o T/4, T/8...).

Infatti, lo stesso segnale di prima però sviluppato in serie di Fourier considerandolo periodico di periodo T*=T/2 (con T* periodo minimo del segnale) non può avere solo armoniche pari.

Un qualsiasi segnale periodico di periodo T, con T periodo minimo, e sviluppato in serie di Fourier considerandolo periodico di periodo T, non può avere esclusivamente armoniche pari.

In ogni caso, al di là del "nome" che avranno gli indici, l'espressione matematica del segnale sarà la stessa, sia considerato periodico T che considerato periodico T/2.


E' corretto quello che ho scritto?

[IsidoroKZ]

Non mi piace l'idea di considerare un segnale con periodo T o periodo T/2.

Mi sembra che il periodo sia un valore unico, il minimo valore di T per cui f(t)=f(t+T) per ogni t.

Dire che il periodo puo` essere T oppure T/2 e` come dire che prendi un segnale sinusoidale (cosi` e` piu` facile vederlo) a 1 kHz e poi dire che e` un segnale a 500Hz perche' considero due cicli di sinusoide che vengono ripetuti ogni 2ms.

Quando si raddrizza a doppia semionda una sinusoide, la sua frequenza raddoppia a causa della non linearita` e si generano anche altre armoniche. Secondo me non ha piu` senso andare a cercare il "periodo originale" della sinusoide iniziale, il segnale e` nuovo con la sua nuova frequenza e il suo nuovo periodo, indipendentemente da come e` stata generato.

[GioArca67]

Certo.
Ma se nella serie di Fourier hai solo armoniche pari significa che avevi sbagliato la fondamentale.

[jaelec]

Sì in effetti a valle di questa discussione penso che non abbia senso parlare di segnale che ha una certa caratteristica riferendo questa caratteristica a certi valori dell'indice delle armoniche, se non si dà per scontato che lo sviluppo è fatto considerando il periodo T minimo. Se si dà per scontato che T è il periodo minimo allora la risposta alla mia domanda:
Quando un segnale periodico ha solo armoniche pari?
é: Mai

[BrunoValente]

Ma, scusate, secondo me un segnale con sole armoniche pari esiste ed è del tipo 1-2-4-6-8 ...
Non credo vada considerata la fondamentale come fosse essa stessa un'armonica perché le armoniche sono solo tutte le altre componenti che hanno un valore di frequenza multiplo di quello della fondamentale.
Se dico che un segnale è privo di armoniche significa che mi sto riferendo ad un segnale perfettamente sinusoidale, cioè dove è presente solo la fondamentale e non è presente alcuna armonica.
Se fosse come dite voi allora un segnale privo di armoniche corrisponderebbe ad un segnale nullo e non mi pare sia così.
Sbaglio?

[GioArca67]

Corretto.
Forse improprio il linguaggio usato, ma si intendeva anche la fondamentale nulla, quindi diversi da 0 solo i coefficienti pari dello sviluppo in serie.

[EcoTan]

un segnale con sole armoniche pari esiste ed è del tipo 1-2-4-6-8 ...

Allora torna la domanda iniziale: possiamo predire qualcosa su questo segnale?
(forse che piace agli audiofili)

[jaelec]

Ma, scusate, secondo me un segnale con sole armoniche pari esiste ed è del tipo 1-2-4-6-8 ...
Non credo vada considerata la fondamentale come fosse essa stessa un'armonica perché le armoniche sono solo tutte le altre componenti che hanno un valore di frequenza multiplo di quello della fondamentale.
Se dico che un segnale è privo di armoniche significa che mi sto riferendo ad un segnale perfettamente sinusoidale, cioè dove è presente solo la fondamentale e non è presente alcuna armonica.
Se fosse come dite voi allora un segnale privo di armoniche corrisponderebbe ad un segnale nullo e non mi pare sia così.
Sbaglio?

Il tuo intervento mette in risalto un'altra possibile ambiguità anche dando per scontato che il periodo T con il quale si esegue lo sviluppo sia quello minimo.

L'ambiguità, secondo me, dipende dalle definizioni. Se l'armonica fondamentale è anch'essa, per definizione, un'armonica, allora certamente nell'esempio che fai non si potrà dire che il segnale ha solo armoniche pari. Se invece l'armonica fondamentale non è un'armonica ma sono armoniche, per definizione, solo quelle multiple dell'armonica fondamentale, allora si potrà dire quello che dici.

Oppure, magari, si considera anche l'armonica fondamentale un armonica, ma nel caso che fai, dire: il segnale ha solo armoniche pari, è un modo conciso per dire che ha solo armoniche con indice pari multiple della fondamentale (che invece, ovviamente, ha indice dispari). In fin dei conti, visto che un segnale non può mai avere armoniche con indici tutti pari, potrebbe anche essere implicito a cosa ci si vuole riferire.

Però tutto questo, sempre che sia corretto, a valle di una dettagliata cognizione di causa. Altrimenti il problema è che le definizioni, probabilmente, non sono precise, altrimenti tutti voi mi avreste detto: guarda la definizione è questa e le cose stanno così...Invece sembra che bisogna fare i conti con una certa indeterminatezza.

[GioArca67]

Si inizia a contare da 0 o da 1?

Non siamo lontani.

La frequenza fondamentale di un'onda è comunemente chiamata prima armonica, es. da enciclopedia britannica:

harmonics of the fundamental tone (itself known as the first harmonic). A combination of harmonic tones is pleasant to hear and is therefore called a musical tone.

Questo combacia con l'indice dello sviluppo in serie di Fourier in cui
0 è quello a frequenza nulla
1 la frequenza fondamentale o prima armonica
2 il doppio della frequenza fondamentale o seconda armonica