Ciao,
innanzitutto non riesco a capire perché andare a complicarsi la vita...
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se hai comprato questo timer e ti sei accorto che non del tipo giusto, ti conviene venderlo a qualcuno e prenderti quello da 25 euro, che in termini assoluti non sembra un costo eccessivo.... Inoltre un'eventuale modifica, fattibile o meno, ti verrebbe a costare (tra componenti e tempo...) un bel po'

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Ad ogni modo, parlando tecnicamente, il relè con bobina a 12Vdc con quel formato esiste:
http://docs-europe.electrocomponents.com/webdocs/0e32/0900766b80e32463.pdfQuesti relè di questo formato sono fatti apposta per sopportare transitori e grandi correnti, infatti per un timer dove possono essere collegati vari tipi di carico, vanno bene perché sono molto robusti.
L'alimentazione, come ti è già stato suggerito, avviene tramite la 230V che viene trasformata in una tensione più bassa, nel tuo caso tramite rete reattiva RC (il condensatore plastico giallo fa pensare a questo tipo di soluzione...) e poi livellata tramite, quasi sicuramente, con uno zener dopo essere stata raddrizzata. In questo modo si evitano ingombranti trasformatori e si riduce il costo del circuito. Se vuoi alimentare il tuo circito a 12V, devi andare a monte "battendo" il PCB ed andando a vedere dove viene applicata la continua principale. Vedendo la foto e secondo la mia esperienza, la continua prinicpale di troverà ai capi di Z1, che ha tutta l'aria di essere uno zener... la resistenza "cicciotella" sollevata dal PCB è quasi sicuramente la R di limitazione dello zener...
ATTENZIONE!!! Il circuito se alimentato è sotto tensione di rete "230Vac!!". La tensione ai capi dello zener, la principale, quasi sicuramente è la 48Vdc che alimenta il relè... Dopodiché devi andare a vedere la logica.... segui il flat grigio e guarda dove arriva l'ingresso dell'alimentazione della logica.. sicuramente ci sarà un altro stabilizzatore che porterà la tensione principale a 5Volt o una tensione più bassa da "logica"...
Quindi, per alimentare il tutto a 12Volt con una batteria dovresti: rimuovere il raddrizzatore, lo zener, la resistenza di limitazione, la parte reattiva, il relè a 12Vdc... Poi devi tagliare le piste della fase e del neutro ed isolare il + e il - di ingresso.... Poi ti devi sincerare che i 12Vdc bastino per alimentare la parte logica ed il circuito di ricarica della batteria verde tampone... assicurati anche che la corrente erogata sia sufficiente...
Faccio solo delle ipotesi sulla configurazione del circuito, ho solo le foto... ad ogni modo fai attenzione alla tensione di rete
La "pila" serve solo da tampone per l'orologio o l'eventuale calendario: se hai programmato il tuo timer, e va via la luce per qualche minuto, non viene persa la programmazione... se il timer è acceso è sta alimentando un carico, se va via la luce ovviamente il relè si apre: quando ritorna e il timer è ancora in stato di ON, richiude il relè e tutto viene alimentato. NON pensare di far passare di lì l'alimentazione a 12V! La batteria in questione non serve per mantenere chiuso un relè.... e poi sarebbe sottoposta al ciclo di ricarica...
Se voui alimentare il tutto a batteria (12V), si presenta un altro problema: il relè.... A prescindere che te ne devi procurare uno delle medesime caratteristiche ma con la bobina a 12Vdc, (a meno che le correnti in gioco siano più basse, allora puoi utilizzare un relè meno "robusto"..) teoricamente il tutto funzionerebbe, ma quando il timer sarà in stato di ON, la bobina del relè sarà sempre sotto tensione, e la corrente che circola nella bobina del relè quando è eccitato ridurrà la durata della batteria... La soluzione sarebbe quella di utilizzare un relè bistabile, ciòè impulso -> contatto chiuso (no tensione alla bobina), impulso -> contatto aperto (no tensione alla bobina). Sono i tipici relè che si trovano, per esempio, nei cronotermostati che vanno solo a batterie senza la 230.... qui però cambierebbe la logica di funzionamento...
Per farla breve, non so se ne valga la pena....