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da **nics992** » 28 set 2017, 19:59

Salve a tutti. Ho provato più volte il calcolo della risposta all'impulso di questo sistema, ma una volta trovata l'equazione dell'uscita nel dominio del tempo, sostituendo valori a 't' non mi vengono i risultati desiserati. La fdt è:

$G(s) = \frac{100}{s^2+2s+4} = \frac{100}{(s+1+\sqrt{3}i)(s+1-\sqrt{3}i)}$

A questo punto calcolo i fratti semplici e ottengo

$A = \frac{50\sqrt{3}i}{3}$ $B = -\frac{50\sqrt{3}i}{3}$

Quindi la mia forma dell'uscita nel dominio del tempo:

$y(t) = \frac{100\sqrt{3}}{3}e^{-t}cos(\sqrt{3}t+\frac{\pi}{2})$

Con questo risultato non trovo la soluzione corretta. Potete aiutarmi a farmi capire dove sbaglio? Grazie in anticipo

da **xyz** » 28 set 2017, 20:43

Io ottengo questo risultato:

$\frac{100 \sqrt{3}}{3} e^{- t} \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

dal tuo risultato puoi semplificare in questo modo:

$\cos{\left (\sqrt{3} t + \frac{\pi}{2}\right )} = - \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

mancano i passaggi intermedi ma credo che hai sbagliato il segno di $\;\frac{\pi}{2}$ .

da **nics992** » 28 set 2017, 21:58

Scusa, ma se

$\cos{\left (\sqrt{3} t + \frac{\pi}{2}\right )} = - \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

perché qui

$\frac{100 \sqrt{3}}{3} e^{- t} \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

non compare il segno - (meno) ?

da **xyz** » 28 set 2017, 22:37

Perché è riferito alla tua equazione.

da **nics992** » 28 set 2017, 23:45

Rimossa citazione inutile

Ah ok. Quindi quello che sbaglio io è il segno di $\frac{\pi}{2}$ che invece dovrebbe essere $-\frac{\pi}{2}$ ?

Se cosi, potresti mostrarmi tu come lo calcoli? perché evidentemente sbaglio il metodo.
Grazie

da **xyz** » 29 set 2017, 0:58

Io non so' quali passaggi hai fatto, ho solo ipotizzato l'errore dal risultato riportato.

L'equazione scomposta in fratti semplici:

$G(s)={{50\,i}\over{\sqrt{3}\,\left(s+\sqrt{3}\,i+1\right)}}-{{50\,i }\over{\sqrt{3}\,\left(s-\sqrt{3}\,i+1\right)}}$

dall'alti-trasformata unilatera di Laplace (vale per $t \geq 0$ ):

$g(t) = {{\sqrt{3}\; 50\,i\,e^ {- \left(\sqrt{3}\,i+1\right)\,t }}\over{3}}-{{\sqrt{3}\; 50\,i\,e^ {- \left(1-\sqrt{3}\,i\right)\,t }}\over{3}}$

In forma trigonometrica:

$g(t) = {{\sqrt{3}\; 50\,i\,e^ {- t }\,\left(\cos \left(\sqrt{3}\,t\right)-i\,\sin \left(\sqrt{3}\,t\right)\right)}\over{3}}-{{\sqrt{3} \; 50\,i\,e^ {- t } \,\left(i\,\sin \left(\sqrt{3}\,t\right)+\cos \left(\sqrt{3}\,t \right)\right)}\over{3}}$

semplificando:

$g(t) = {{\sqrt{3} \;100\,e^ {- t }\,\sin \left(\sqrt{3}\,t\right)}\over{3}}$

da **nics992** » 29 set 2017, 8:35

Non fa una grinza. Io ho sempre utilizzato un'altra formula per il calcolo dell'antitrasformata di laplace di una frazione con poli cc, ovvero calcolavo il modulo del residuo 'R' e la sua fase, dopodichè facevo:

$2|R|e^{Re(R)}cos(Im(R)t+arg(R))$

da **nics992** » 29 set 2017, 10:56

È corretta questa formula? Se si, potresti mostrarmi come verrebbe il calcolo della fase del coseno?

da **xyz** » 29 set 2017, 13:59

La formula che hai riportato non l'ho mai usata in nessun mio corso.

L'ho cercata, credo che sia sbagliata, è in funzione solo del residuo, invece è in funzione del polo e del residuo. come spiegato in questo documento:

http://ece.gmu.edu/~gbeale/ece_220/complex-pole-pfe.pdf

Riscrivendo la formula dove p è il polo associato al residuo R:

$2|R|e^{Re(p) \, t}cos(Im(p)\,t+\angle R)$

da **nics992** » 29 set 2017, 15:53

Si hai ragione ho sbagliato a scrivere. Grazie per il documento e per le delucidazioni.

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