ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **DrCox** » 22 ago 2015, 13:21

Prima di risponderti la stavo prendendo molto molto alla larga. GIà che ho scritto e non mi va di calcellare tutto invio comunque il messaggio completo

Partiamo dalla densità di corrente:
${\bar J_n} = q\mu_nn{\bar F} + qD_n\nabla n$
${\bar J_p} = q\mu_pp{\bar F} - qD_p\nabla p$

Consideriamo gli pseudo-potenziali $\varphi_n, \varphi_p$ come delle funzioni ausiliarie che ci consentono di esprimere la densità di corrente con un unico termine ohmico:
${\bar J_n} = -q\mu_nn\nabla \varphi_n$
${\bar J_p} = -q\mu_pp\nabla \varphi_p$

avendo scritto al posto del campo $\bar F$ un campo fittizio, non reale, tale che renda vera l'uguaglianza scritta sopra. Questo pseudo campo elettrico varrà $-\nabla \varphi_n$ .

Abbiamo dunque:
${\bar J_n} = q\mu_nn{\bar F} + qD_n\nabla n = -q\mu_nn \nabla \varphi_n = -q\mu_nn[\nabla \varphi - \frac{D_n}{\mu_nn}\nabla n] =$
$= -q\mu_nn[\nabla \varphi - V_{th}\frac{n_i}{n}\nabla (n/n_i)] =-q\mu_nn\nabla [\varphi - V_{th}\ln(n/n_i)]$
ricavando così la definizione di pseudo-potenziale:
$\varphi_n = \varphi - V_{th}\ln(n/n_i)$
$\varphi_p = \varphi + V_{th}\ln(p/p_i)$

E questo era per darti la definizione, da cui puoi ricavarti la generalizzazione della legge di azione di massa.

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Analizziamo ora il comportamento in regioni svuotate e regioni quasi neutre.

Prendiamo un semiconduttore n-type, drogato $N_D \approx 10^{17} \text{cm}^{-3}$ , in condizioni di quasi-neutralità, ossia $n \simeq N_D$ .
La mobilità diciamo che vale $\mu_n \simeq 1000 \frac{\text{cm}^2}{Vs}$ (diciamo 1000 visto che non siamo a concentrazioni proprio basse, per le quali la mobilità vale circa $1400 \frac{\text{cm}^2}{Vs}$ )
Mettiamoci in condizioni di fuori-equilibrio abbastanza spinto: $J_n \simeq 1000 \frac{\text{A}}{\text{cm}^2}$ . Inserendo ciò all'interno dell'equazione ${\bar J_n} = -q\mu_nn\nabla\varphi_n$ otteniamo un $\frac{\text{d} \varphi_n}{\text{d} x} \approx 60 \text{V/cm}$
Questo è un valore estremamente basso, comparato ai valori di campo che trovi dentro alla giunzione ( $\sim 10^5 \text{V/cm}$ ).
Anche in presenza di correnti molto grandi, dunque, nelle regioni quasi-neutre lo pseudo-livello di Fermi del portatore maggioritario è circa costante.
Avendo $n = n_i \exp(\frac{\varphi - \varphi_n}{V_{th}})$ fuori equilibrio, e $n = n_i \exp(\frac{\varphi - \varphi_F}{V_{th}})$ all'equilibrio, e dovendo questi due

essere uguali a N_D

nella regione quasi neutra, abbiamo che il valore assunto dallo pseudo-livello di Fermi per il portatore maggioritario coincide con il valore che assumerebbe il livello di Fermi se la giunzione fosse all'equilibrio.

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Consideriamo cosa succede passando da un estremo all'altro della regione svuotata.

In condizioni stazionarie e con fenomeni di generazione/ricombinazione trascurabili $\frac{\partial n}{\partial t} \simeq 0, U_n \simeq 0$ dall'equazione di continuità $\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla \cdot J_n - U_n$ deduciamo che, guardando in una direzione (es. mettiamoci lungo x) $J_n = \text{cost}$ (lungo x).
Essendo la densità di corrente sempre costante, possiamo misurarla dove preferiamo. Identificando con x_n, x_p

gli estremi della regione svuotata:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

abbiamo:
$-q\mu_n(x_n)n(x_n)\frac{\text{d}\varphi_n}{\text{d}x}\rvert_{x=x_n} = J_n(x_n) = J_n(-x_p) = -q\mu_n(-x_p)n(-x_p)\frac{\text{d}\varphi_n}{\text{d}x}\rvert_{x=-x_p}$

Nella regione quasi-neutra n abbiamo, come detto prima, $\varphi_n \simeq \text{cost}$ , dunque $\frac{\text{d}\varphi_n}{\text{d}x}\rvert_{x=x_n}$ è molto piccolo.
Andando dall'altra parte della regione svuotata, come mobilità non abbiamo più la mobilità dei maggioritari, ma mobilità di portatori minoritari. Sarà diversa. Tuttavia, non parliamo di differenze di ordini di grandezza, dunque possiamo assumere che valga $\mu_n(-x_p) \simeq \mu_n(x_n)$ . Per quanto riguarda le concentrazioni, invece, effettivamente abbiamo ordini di grandezza di differenza: n(-x_p) << n(x_n)

Da ciò segue che:
$\frac{\text{d}\varphi_n}{\text{d}x}\rvert_{x=-x_p} >> \frac{\text{d}\varphi_n}{\text{d}x}\rvert_{x=x_n}$
pertanto, abbiamo un forte gradiente dello pseudo livello di Fermi del portatore minoritario.

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Passiamo alla regione svuotata, argomento della tua domanda.

J_n

si manifesta come due termini: $J_n = q\mu_nn{\bar F} + qD_n\nabla n$
All'equilibrio i due termini sono molto molto grandi. E' sufficiente un piccolo sbilanciamento tra di loro per generare una densità di corrente rilevante. Tuttavia, anche considerando un valore molto grande come $1000 \frac{\text{A}}{\text{cm}^2}$ questa corrente è generata da una piccola variazione tra i due termini. Due termini che però sono molto grandi. Per questo motivo possiamo dire che:
$q\mu_nn{\bar F} \simeq -qD_n\nabla n$
$-q\mu_nn\nabla\varphi \simeq -qD_n\nabla n$

Lo pseudo potenziale, che ricordiamo era piatto per il portatore maggioritario nella R.Q.N., resta circa costante anche nella regione svuotata.
NOTA: resta circa costante, e NON davvero costante, altrimenti non avremmo corrente!

Visto il tuo dubbio, è come dire:
se abbiamo 10 = 1000000010 - 1000000000, è o non è forse vero che $1000000010 \simeq 1000000000$ ?

da **slashino** » 24 ago 2015, 11:25

Ciao, grazie per la risposta.

A parte la divagazione, sulla quale sono d'accordo, penso di aver colto il punto. Ma mi serve un'ultima conferma da parte tua per essere sicuro :-)

.

Sei d'accordo che per "dimostrare" che nella regione di svuotamento il quasi Fermi level vari poco basta dire:

$q \mu_n n \nabla \phi_n << q \mu_n n \nabla \phi \rightarrow \nabla \phi_n<< \nabla \phi$

...perché in fin dei conti dire "varia poco" non significa nulla; ha senso dire "varia poco rispetto le bande".

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