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da **EcoTan** » 24 dic 2017, 16:55

Ianero ha scritto:conducibilità in funzione della frequenza

Di quali conduttori solidi si parla?
Se ben ricordo, per calcolare le perdite in una linea si assume la resistività standard del rame con effetto pelle. Ci sono variazioni importanti della conducibilità con la frequenza?

da **Ianero** » 26 dic 2017, 10:48

EcoTan ha scritto:Di quali conduttori solidi si parla?

Quelli per cui valgono le ipotesi del modello di Drude.

Ci sono variazioni importanti della conducibilità con la frequenza?

Assolutamente sì. Fuori dal visibile alcuni sono addirittura trasparenti.

da **Ianero** » 26 dic 2017, 15:50

Posto per chi è interessato, quanto riguarda il modello della conducibilità di un metallo in funzione della frequenza.
Comincio riportando la formula corretta della velocità di deriva quando il campo elettrico applicato è statico e uniforme (thanks albireo):

$\underline{v}_d(t)=-\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sum_{n_i=0}^{\infty}(t-t_{n_i}) R_{n_i}(t)}_{\tau}$

con

numero di particelle, n_i

contatore di urti per la i-esima particella e $R_{n_i}(t)$ funzione rettangolo unitario che seleziona il moto della i-esima particella tra l'n-esimo urto e l'(n+1)-esimo:

$R_n(t)=\left\{\begin{matrix} 1 \; \;\;\;\text{se}\;\;\; \; t_n<t\leq t_{n+1}\\ 0 \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\text{altrimenti} \end{matrix}\right.$ .

Per campi variabili l'equazione del moto per la i-esima particella è (moto smorzato da $\beta$ ):

$m\frac{\mathrm{d} \underline{v}_i(t)}{\mathrm{d} t}=-e\underline{\mathfrak{E}}(\underline{r}_i(t), t)-\beta \underline{v}_i(t)$

che mediando su tutte le particelle si trasforma in:

$m\frac{\mathrm{d} \underline{v}_d(t)}{\mathrm{d} t}=-\beta \underline{v}_d(t)-e\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{\mathfrak{E}}(\underline{r}_i(t), t)$

che per comodità di notazione riscrivo così:

$m\frac{\mathrm{d} \underline{v}_d(t)}{\mathrm{d} t}=-\beta \underline{v}_d(t)-e\left \langle \underline{\mathfrak{E}}(\underline{r}_i(t), t) \right \rangle$ .

Trasformando secondo Fourier:

$m \j \omega \underline{v}_d(\omega)=-\beta \underline{v}_d(\omega)-e\;\underbrace{\mathfrak{F}\left \{ \left \langle \underline{\mathfrak{E}}(\underline{r}_i(t), t) \right \rangle \right \}}_{E(\omega)}$

$\underline{v}_d(\omega)=-\frac{eE(\omega)}{\beta + \j \omega m}$

$\beta$ si ottiene ritornando al caso statico:

$\underline{v}_d(\omega)=-\frac{e\underline{\mathfrak{E}}_0\delta(\omega)}{\beta}\Rightarrow \underline{v}_d(t)=-\frac{e\underline{\mathfrak{E}}_0}{\beta}\Rightarrow \beta = \frac{m}{\tau}$

da cui:

$\underline{v}_d(\omega)=-\frac{eE(\omega)}{\frac{m}{\tau}+ \j \omega m}$ .

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