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Dimostrazione sul coefficiente di mutua induzione

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[1] Dimostrazione sul coefficiente di mutua induzione

Messaggioda Foto Utentebmorabito » 21 lug 2011, 8:08

Salve a tutti, qualcuno mi saprebbe dimostrare con considerazioni puramente energetiche, senza tirare in ballo la questione del differenziale esatto, che M1-2 è uguale a M2-1?? Mi ricordo che il mio professore faceva un esempio tipo questo: diceva che se in un solenoide scorre corrente i1 sarà associata una energia magnetica dovuta alla sua autoinduttanza L1, poi gli si avvicina un altro solenoide in cui scorre una corrente i2 e avrà una energia dovuta al suo coefficiente di auto L2, una volta che sono vicini e comincia ad esserci mutua induzione l'energia si deve conservare. Però non so come continuare... se eguaglio le equazioni non riesco ad ottenere nulla.
Grazie
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[2] Re: Dimostrazione sul coefficiente di mutua induzione

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 21 lug 2011, 8:44

Credo basti dire che, fatta salire la corrente nel primo induttore ad un valore finale I1, lasciando aperto il secondo, avremo come noto che l'energia immagazzinata sara' pari a

W_{m}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}

se ora manteniamo costate questa corrente, e facciamo salire la corrente nel secondo avolgimento al valore finale I2, l'energia addizionale immagazzinata sara' pari a

\Delta W_{m}=M_{12}I_{1}I_{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}

in quanto I1 e' costante, di conseguenza l'energia totale immagazzinata dal mutuo induttore sara' pari a

W_{mt}=W_{m}+\Delta W_{m}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+M_{12}I_{1}I_{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}

questo procedimento puo' ovviamente essere simmetrizzato, ottenendo

W_{mt}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+M_{21}I_{1}I_{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}

Poiche' l'energia magnetica e' una funzione di stato essa sara' funzione di i1 e di i2 e quindi se raggiungiamo lo stesso punto P(I1,I2), l'energia dovra' essere la medesima indipendentemente dal percorso seguito per raggiungerlo;


di conseguenza

M_{12}=M_{21}
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[3] Re: Dimostrazione sul coefficiente di mutua induzione

Messaggioda Foto Utentebmorabito » 21 lug 2011, 9:10

Si adesso ho capito, grazie mille!
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