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Problema di Fisica 2

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[1] Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utentejumpy83 » 20 giu 2012, 11:44

Salve a tutti, sto affrontando lo studio di Fisica 2e mi sono trovato di fronte ad un esercizio che posterò qui sotto.
Premetto che questo esercizio l'ho visto proposto in questo forum solo che non c'è una conferma circa la sua risoluzione.
il problema è:

Un condensatore a facce piane e parallele (S=10 mm2) da 100 pF viene collegato ad una sorgente di forza elettromotrice ε=50 V; Calcolare la forza necessaria per tenere in equilibrio le armature del condensatore.



io ho agito senza tirare in ballo l'energia.

Per prima cosa ho calcolato la distanza d tra le armature del condensatore attraverso la formula della capacità.
quindi sapendo questa distanza ho calcolato il campo elettrico tra le armature del condensatore attraverso la relazione E=ε/d

quindi ho calcolato la carica presente sulle armature attraverso Q=C*V.
E poi semplicemente ho fatto F= Q*E.
Personalmente ho il presentimento che non sia il modo corretto di procedere.
Spero qualcuno mi confermi o mi smentisca.
Grazie in anticipo a tutti :-)
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[2] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utentefrancesco51 » 20 giu 2012, 11:58

tranquillo, è corretto.
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[3] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utenteadmin » 20 giu 2012, 12:34

jumpy83 ha scritto:[..]

quindi ho calcolato la carica presente sulle armature attraverso Q=C*V.
E poi semplicemente ho fatto F= Q*E.
Personalmente ho il presentimento che non sia il modo corretto di procedere.
[..]

Il presentimento è più che legittimo ed io non sarei così tranquillo come ti invita ad essere Foto Utentefrancesco51
La forza di attrazione è infatti la metà di quella da te calcolata, formula che si ottiene proprio ricorrendo alla variazione dell'energia immagazzinata
F = \left| {\frac{\partial }{{\partial s}}\left( {\frac{1}{2}\frac{{{Q^2}}}{C}} \right)} \right| = \left| {\frac{\partial }{{\partial s}}\left( {\frac{1}{2}{Q^2}\frac{s}{{\varepsilon A}}} \right)} \right |=\left| {\frac{1}{2}\frac{{{Q^2}}}{{\varepsilon A}}} \right| = \frac{1}{2}EQ
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[4] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utentejumpy83 » 20 giu 2012, 12:45

Grazie. :ok:
Avevo evitato di usare la formula dell'energia perché mi ero bloccato e non mi veniva in mente il secondo passaggio ossia il fatto di scrivere la formula della capacità C. :oops:
Ultima modifica di Foto Utenteadmin il 20 giu 2012, 12:47, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: eliminata citazione integrale del messaggio che precede. Usare il tasto Rispondi
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[5] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 20 giu 2012, 15:31

admin ha scritto:formula che si ottiene proprio ricorrendo alla variazione dell'energia immagazzinata


Frase pericolosa, Foto Utenteadmin ;-)
Bisogna anche tenere conto del lavoro del generatore di tensione, altrimenti la forza viene con il segno sbagliato.
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[6] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utenteadmin » 20 giu 2012, 16:02

E' vero. Per questo ho messo il valore assoluto.Ho usato la formula dell'energia con Q assumendo implicitamente Q costante. Se invece si mantiene V costante, è come dici tu. Però il valore assoluto non cambia
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[7] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 20 giu 2012, 16:23

Facciamo i due casi:

1) Condensatore carico, in circuito aperto.

Poiché il condensatore non è connesso a nulla, la carica Q sulle armature è costante. L'energia immagazzinata sul condensatore è

U = \frac{Q^2}{2C}

con

C(s) = \epsilon_0\frac{A}{s}.

Con riferimento alla figura sotto, se volessi spostare l'armatura superiore di una quantità \delta s, dovrei applicare all'armatura una forza -F, dove F è la forza tra le armature del condensatore (o, meglio, visto che siamo in un problema scalare, la componente lungo l'asse s di tale forza).



Il lavoro compiuto in questo spostamento deve uguagliare la variazione di energia del sistema

-F\delta s = \delta U = \frac{\text{d} U}{\text{d} s}\delta s

da cui

\begin{align}
F &= -\frac{\text{d} U}{\text{d} s} \\
&= \frac{Q^2}{2C^2}\frac{\text{d} C}{\text{d} s} \\
& = - \frac{Q^2}{2C}\frac{1}{s}
\end{align}

dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che

\frac{\text{d} C}{\text{d} s} = -\epsilon_0\frac{A}{s^2} = -\frac{C}{s}

Notare il segno della forza: la forza è diretta verso -s, ed è quindi una forza attrattiva, come ci si aspetta.

2) Condensatore chiuso su un generatore di tensione \mathcal{E}.

L'energia immagazzinata nel condensatore è

U = \frac{1}{2}C\mathcal{E}^2

Potremmo essere tentati di dire, come prima

F = -\frac{\text{d} U}{\text{d} s}

ottenendo

F =  -\frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{\text{d} C}{\text{d} s} = \frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{C}{s}

Oops, c'è un segno "+", la forza sembrerebbe repulsiva!

L'errore che abbiamo fatto è stato quello di non tenere in conto il lavoro che dovrebbe fare il generatore per mantenere costante la tensione sul condensatore. Procedendo come prima si ha che la variazione dell'energia immagazzinata nel condensatore è uguale al lavoro fatto su di esso dalla forza -F e dal generatore di tensione:

\delta U = -F\delta s + \mathcal{E}\delta Q

Poiché Q = C\mathcal{E},

\delta Q = \mathcal{E}\frac{\text{d} C}{\text{d} s}\delta s

Inoltre, poiché

\delta U = \frac{\text{d} U}{\text{d} s}\delta s

si ha

\frac{\text{d} U}{\text{d} s}\delta s = -F\delta s+\mathcal{E}^2\frac{\text{d} C}{\text{d} s}\delta s

da cui

\begin{align}
F &= -\frac{\text{d} U}{\text{d} s}+\mathcal{E}^2\frac{\text{d} C}{\text{d} s} \\
&=  \frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{C}{s}-\mathcal{E}^2\frac{ C}{s} \\
&= -\frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{C}{s}
\end{align}

Fiuuuu, la forza è tornata attrattiva :D

admin ha scritto: Però il valore assoluto non cambia


Vero, ma meglio non rischiare :-)
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[8] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 20 giu 2012, 18:50

Già che ci siamo, vale la pena di porre due domande da "ah, ci sono!" (al lettore volenteroso, come si dice in questi casi): ;-)

1) Dov'è che fallisce il ragionamento esposto in [1]? In particolare, perché risulta una forza che è precisamente il doppio di quella vera?

2) In riferimento a quanto detto da Foto Utenteadmin in [6]:

admin ha scritto:E' vero. Per questo ho messo il valore assoluto.Ho usato la formula dell'energia con Q assumendo implicitamente Q costante. Se invece si mantiene V costante, è come dici tu. Però il valore assoluto non cambia


L'affermazione in grassetto (mio) sarebbe vera anche se il condensatore fosse non lineare (p.es. un condensatore per cui Q = a_1V+a_2V^2)?
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[9] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utentecarloc » 20 giu 2012, 22:47

Per l'1) mi ero dato una spiegazione moooolto handwaving tempo fa quando mi ero trovato a fare 'sto conto per un pendolo di Zamboni...


F=qE vale per una carica "immersa" in un campo elettrico (zone gialline sopra) ma le cariche sull'armatura (su un conduttore) idealmente sono sulla superficie, all'interno del conduttore poi il campo vale zero....

con molta fantasia si potrebbe pensare che in effetti sia immersa nel campo solo a metà :roll: :roll:
Se ti serve il valore di beta: hai sbagliato il progetto!
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[10] Re: Problema di Fisica 2

Messaggioda Foto Utentefrancesco51 » 20 giu 2012, 23:37

scusatemi,
ho dato una riposta frettolosa, e erronea
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