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Elettrostatica

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[1] Elettrostatica

Messaggioda Foto Utenterama » 5 set 2018, 16:07

Ciao a tutti, ho il seguente problema che non so come risolvere:

"
Due cariche Q_1 = +12\ \mathrm{nC} e Q_2 = -3\ \mathrm{nC} nel vuoto sono fisse nello spazio ad una distanza d_1 = 10\ \mathrm{cm} l'una dall'altra. Si aggiunge in un punto qualsiasi una terza carica Q_3 = +2\ \mathrm{nC}, e massa m = 10^{-9}\ \mathrm{kg} con velocità nulla, libera di muoversi.
(A) Determinare il punto in cui la carica Q_3 rimane ferma.
(B) La carica Q_3 è inizialmente posta, con velocità nulla, in posizione allineata con Q_1 e Q_2, a una distanza d_2 = 25\ \mathrm{cm} da Q_1 e (d_2-d_1) da Q_2. Calcolare la velocità di Q_3 quando raggiunge il punto a distanza d_3 = 50\ \mathrm{cm} da Q_1.
"

Appena l'ho letto mi è sorto il dubbio su come considerare la forza di gravità, essendo le cariche disposte in un qualunque modo; potrebbero essere disposte sia in orizzontale, sia in verticale. Allora ho pensato che forse si intende uno spazio vuoto senza gravità. Ho provato a eguagliare le forze e trovare "il punto in cui Q_3 rimane ferma" (anche se in realtà me ne aspetto più di uno).

Il problema che è sorto è che mi esce un'equazione che non sono in grado di risolvere. Ho provato anche solo in 2 dimensioni, ma è comunque difficile e questo è uno solo dei 4 esercizi d'esame, quindi il tempo è limitato.

\frac{Q_1Q_3x}{4\pi\varepsilon_0(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}+\frac{Q_2Q_3(x-d_1)}{4\pi\varepsilon_0((x-d)^2+y^2)^\frac{3}{2}}=0

Q_1((x-d)^2+y^2)^\frac{3}{2}+Q_2(x^2+y^2)^\frac{3}{2}=0

Quest'equazione che svolgendola mi risulta di terzo grado, andrebbe fatta anche per y e, nel caso di considerare 3 dimensioni, per z. Esiste un modo alternativo? Ho pensato anche al potenziale per diminuire il grado dell'equazione, ma non saprei come impostare il problema, anche perché non devo trovare tutte le superfici equipotenziali, ma quella in cui E = 0.
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[2] Re: Elettrostatica

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 set 2018, 9:20

rama ha scritto:Appena l'ho letto mi è sorto il dubbio su come considerare la forza di gravità, essendo le cariche disposte in un qualunque modo; potrebbero essere disposte sia in orizzontale, sia in verticale. Allora ho pensato che forse si intende uno spazio vuoto senza gravità. Ho provato a eguagliare le forze e trovare "il punto in cui rimane ferma" (anche se in realtà me ne aspetto più di uno).


No, la gravità non c'entra niente, è oltre 40 ordini di grandezza più debole.


Quest'equazione che svolgendola mi risulta di terzo grado...


Vedi bene che non è di terzo grado :ok:
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[3] Re: Elettrostatica

Messaggioda Foto Utenterama » 7 set 2018, 8:30

Ianero ha scritto:No, la gravità non c'entra niente, è oltre 40 ordini di grandezza più debole.


La gravità è di 40 ordini di grandezza più debole e può essere trascurata se si confronta gravità ed attrazione elettrostatica da due particelle, quindi considerando la gravità tra le due particelle cariche. Intendevo dire però che, se siamo in prossimità della superficie terrestre, la gravità non può essere trascurata perché l'interazione gravitazionale avviene tra una particella piccola e la Terra che ha massa sufficientemente grande da poter essere significativa. Inoltre le cariche in prossimità della superficie terrestre potrebbero essere disposte in orizzontale, mentre la forza gravitazionale agirebbe in verticale: la componente verticale non verrebbe influenzata dalla forza di Coulomb.

Ianero ha scritto:
rama ha scritto:Appena l'ho letto mi è sorto il dubbio su come considerare la forza di gravità, essendo le cariche disposte in un qualunque modo; potrebbero essere disposte sia in orizzontale, sia in verticale. Allora ho pensato che forse si intende uno spazio vuoto senza gravità. Ho provato a eguagliare le forze e trovare "il punto in cui rimane ferma" (anche se in realtà me ne aspetto più di uno).

Vedi bene che non è di terzo grado :ok:

E' vero, mi ero fermato troppo presto! Allora si può fare:

Q_1(x^2-2xd+d^2+y^2)^\frac{3}{2}+Q_2(x^2+y^2)^\frac{3}{2}=0

Q_1^\frac{2}{3}(x^2-2xd+d^2+y^2)=(-Q_2)^\frac{2}{3}(x^2+y^2)

(Q_1^\frac{2}{3}-(-Q_2)^\frac{2}{3})x^2-2Q_1^\frac{2}{3}xd+Q_1^\frac{2}{3}d^2+(Q_1^\frac{2}{3}-(-Q_2)^\frac{2}{3})y^2=0

x = \frac{2Q_1^\frac{2}{3}d + \sqrt{4Q_1^\frac{4}{3}d^2-4(Q_1^\frac{2}{3}-(-Q_2)^\frac{2}{3})(Q_1^\frac{2}{3}d^2+(Q_1^\frac{2}{3}-(-Q_2)^\frac{2}{3})y^2)}}{2(Q_1^\frac{2}{3}-(-Q_2)^\frac{2}{3})}

Fortunatamente il discriminante è positivo per y=0, quindi un punto si trova facilmente.
Fattibile, ma è comunque semplificato a 2 dimensioni. A 3 dimensioni il calcolo viene un po' più bruttino, immagino. Comunque sembra non esserci altra via.

Grazie della dritta O_/
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[4] Re: Elettrostatica

Messaggioda Foto UtenteIanero » 7 set 2018, 9:15

rama ha scritto:Intendevo dire però che, se siamo in prossimità della superficie terrestre, la gravità non può essere trascurata perché l'interazione gravitazionale avviene tra una particella piccola e la Terra che ha massa sufficientemente grande da poter essere significativa. Inoltre le cariche in prossimità della superficie terrestre potrebbero essere disposte in orizzontale, mentre la forza gravitazionale agirebbe in verticale: la componente verticale non verrebbe influenzata dalla forza di Coulomb.


Si intende una disposizione di cariche nel vuoto, sì.
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