Sistemi inerziali e trasformazioni di Lorentz

[alberz]

Salve a tutti!

Sto cercando di risolvere questo problema e mi chiedevo se qualcuno di voi sapesse aiutarmi.
Il problema è il seguente:

Nel sistema di coordinate cartesiane ortogonali di un sistema inerziale , l’asse spaziale di un secondo sistema inerziale ha equazione . I due sistemi di riferimento sono in configurazione standard.
● Determina la velocità con cui si muove rispetto a .
● Scrivi le trasformazioni di Lorentz che permettono di passare dai valori di e a quelli di e .

Qualcuno sarebbe così gentile da mettermi sulla "giusta strada"? Grazie!

[EcoTan]

Nel sistema di coordinate cartesiane ortogonali di un sistema inerziale , l’asse spaziale di un secondo sistema inerziale ha equazione .

Quindi x = -7/5 ct
Essendo sistemi inerziali con la stessa origine, nel piano di Minkowski vale la simmetria degli assi x-ct oppure x'-ct' rispetto alla comune diagonale quindi l'equazione dell'altro asse è:
ct = -7/5 x
Consideriamo che l'asse temporale rappresenta proprio il moto dell'origine.
x = -5/7 ct
dx/dt = -5/7 c = v
La trasformazione di Lorentz avrà
v = -5/7 c
k = 1/SQR(1-(v/c)^2) = 1,42887

[IlGuru]

Con ricavato nel messaggio precedente, possiamo scrivere l'equazione della linea che è quella descritta dal vettore moltiplicato per un certo parametro quindi
Similmente, con tutte le considerazioni che si possono fare circa la simultaneità degli eventi

[alberz]

Nel sistema di coordinate cartesiane ortogonali di un sistema inerziale , l’asse spaziale di un secondo sistema inerziale ha equazione .

Quindi x = -7/5 ct
Essendo sistemi inerziali con la stessa origine, nel piano di Minkowski vale la simmetria degli assi x-ct oppure x'-ct' rispetto alla comune diagonale quindi l'equazione dell'altro asse è:
ct = -7/5 x
Consideriamo che l'asse temporale rappresenta proprio il moto dell'origine.
x = -5/7 ct
dx/dt = -5/7 c = v
La trasformazione di Lorentz avrà
v = -5/7 c
k = 1/SQR(1-(v/c)^2) = 1,42887

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Mi scuso se non ho risposto in modo celere, ma ho voluto dapprima leggere con attenzione quello che mi hai risposto.

Il mio libro di testo riporta un esempio di calcolo delle equazione degli assi (diverso problema) in cui utilizza le equazioni di Lorentz. Opera in maniera tale (conoscendo ) da porre dapprima e successivamente .

Imponendo ottiene dalla trasformazione di Lorentz che che scrive successivamente come ottenendo così l'equazione dell'asse .

Per ricavare l'asse sfrutta sempre una delle trasformazioni di Lorentz (questa volta quella relativa al tempo) e quindi impone . Da ciò ottiene che definisce come equazione dell'asse .

E queste sono le equazioni di due rette passanti per l'origine con reciproco coefficiente angolare.

Ritornando quindi al problema originale, una volta scritto posso affermare che ? Questa è l'equazione di quale asse?

Perché l'equazione dell'altro asse l'hai scritta come ? Non conosco questa proprietà...

Supposto quindi di aver calcolato l'equazioni dei due assi, per ottenere la velocità basta scrivere la derivata rispetto al tempo dell'equazione che poi però è stata scritta come e non come (ottengo quindi la velocità di o ?) Se fosse di , siccome la traccia richiede quella di suppongo sia del medesimo modulo ma di verso opposto.

Non ho chiari questi passaggi, ti sarei davvero grato se riuscissi a darmi un ulteriore aiuto.

Grazie!

[EcoTan]

La simmetria degli assi x'-ct' rispetto alla diagonale di x-ct la prendo per dimostrata:

Tale simmetria comporta che due punti simmetrici si scambiano le coordinate x' e ct' quindi anche le equazioni degli assi le ottengo scambiando le coordinate.
Che l'asse ct' rappresenti in S il moto dell'origine O' non hai fatto obiezioni, infatti è il luogo dei punti, o meglio degli eventi, con x'=0.
Pertanto la velocità v calcolata si intende in S.

[alberz]

Da quanto mi hai scritto sono arrivato a questa conclusione:

Avendo l'asse spaziale di S' posso andare a ricavare la linea di universo. Quest'ultima ha coefficiente angolare reciproco rispetto a quello dell'asse spaziale, quindi:



Essendo questa una linea di universo, so che ha coefficiente angolare pari a allora deduco che . Essendo pari a posso ricavare v. (Tuttavia, immagino che questo ragionamento l'avrei potuto fare anche a partire dal coefficiente dell'asse spaziale, sapendo essere pari a , corretto?)

La soluzione da te proposta per il calcolo di v mi è chiara, semplicemente basta fare la derivata rispetto al tempo dell'equazione della linea di universo, così da ottenere la velocità.

Per scrivere poi le trasformazioni di Lorentz, successivamente calcolo e le scrivo nella forma classica del tipo:

e

Spero di aver ragionato correttamente, nel caso sentiti libero di correggermi.

Ti ringrazio inoltre per il tempo fin ora dedicatomi.

[EcoTan]

Avendo l'asse spaziale di S' posso andare a ricavare la linea di universo.

Linea di universo è un termine generico, io specificherei "la linea di universo dell'origine di S' "
Comunque la conclusione per me è corretta, i modi per arrivarci possono essere tanti.