ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **RenzoDF** » 25 dic 2009, 12:52

IsidoroKZ ha scritto:... E medita bene sugli aforismi di Confucio, sono importanti

scusa ma non riesco a vederlo ... il mio browser non ha i caratteri " al mandarino" :mrgreen:

da **IsidoroKZ** » 25 dic 2009, 13:05

RenzoDF ha scritto:scusa ma non riesco a vederlo ... il mio browser non ha i caratteri " al mandarino"

: Proverbio SPICE.jpg (28.73 KiB) Osservato 4328 volte

da **RenzoDF** » 25 dic 2009, 14:57

Vedo che ti sei ricordato dei miei problemi di "cataratta" :mrgreen:

.....

adesso si che si legge come si deve :!:

... quoto Isidoro al 100% :mrgreen:

da **denisrn** » 25 dic 2009, 20:39

Ok RenzoDF, dopo una giornata persa a studiare ste *biip* di equazioni differenziali sono arrivato ad un risultato che (apparentemente) differisce dal tuo, puoi dare un occhio se sbaglio qualcosa? :mrgreen:

(alcune cose saranno ridondanti con il tuo precedente post, ma scrivo tutto per chiarezza)

Innanzi tutto il circuito in analisi da cui vogliamo ricavare la $v_{C}(t)$ :

Immagine

Il generatore e' di tipo sinusoidale, nel dominio del tempo sara' quindi:
$(1)\; v(t)=V_{M}sin(\omega t)$

Possiamo quindi scrivere l' equazione dell' unica maglia presente:
$(2)\;V_{M}sin(\omega t)=v_{C}(t)+v_{L}(t)$

Sappiamo anche che:
$(3)\;i_{L}(t)=i_{C}(t)$

Aggiungendo le relazioni che legano corrente e tensione nei componenti reattivi:
$(4)\;v_{L}(t)=L\frac {d[i_{L}(t)]}{dt}$
$(5)\;i_{C}(t)=C\frac {d[v_{C}(t)]}{dt}$

E tenendo conto delle precedenti affermazioni, possiamo finalmente arrivare a scrivere che:
$(6)\;LC\frac {d^{2} [v_{C}(t)]}{dt^{2}}+v_{C}(t)=V_{M}sin(\omega t)$

Che altri non e' che un equazione differenziale di secondo ordine non omogenea.
Per risolverla dobbiamo trovare due soluzioni separate, tali che:
$(7)\;v_{C}(t)=v_{C_{c}}(t)+v_{C_{p}}(t)$

Una delle due soluzioni che stiamo cercando e' quella dell' equazione omogenea associata:
$(8)\;LC\frac {d^{2} [v_{C_{c}}(t)]}{dt^{2}}+v_{C_{c}}(t)=0$

Per risolvere quest' ultima dobbiamo ricavarci le radici dell' equazione di secondo grado associata:
$(9)\;LCr^{2}+1=0$

Che presenta due radici complesse coniugate:
$(10)\;r_{1}=0+j\frac {1}{\sqrt{LC} }$
$(11)\;r_{2}=0-j\frac {1}{\sqrt{LC} }$

La soluzione dell' equazione omogenea associata e' quindi:
$(12)\;v_{C_{c}}(t)=C_{1}cos(\frac{1}{\sqrt{LC} } t)+C_{2}sin(\frac{1}{\sqrt{LC} } t)$

Un altro ingrediente per risolvere l' equazione differenziale da cui siamo partiti e' una particolare soluzione che risponda alla seguente relazione:
$(13)\;LC\frac {d^{2} [v_{C_{p}}(t)]}{dt^{2}}+v_{C_{p}}(t)=V_{M}sin(\omega t)$

Per tentare di risolvere quest' ultima, possiamo provare ad assumere che
$(14)\;v_{C_{p}}(t)=Ksin(\omega t)$

Sostituendo quest' ultima relazione nell' equazione differenziale precedentemente scritta, troviamo che:
$(15)\;LC\frac {d^{2} [Ksin(\omega t)]}{dt^{2}}+Ksin(\omega t)=V_{M}sin(\omega t)$

$(16)\;-LC\omega ^{2}Ksin(\omega t)+Ksin(\omega t)=V_{M}sin(\omega t)$

$(17)\;K(1-LC\omega ^{2})=V_{M}$

$(18)\;K=\frac{V_{M}}{1-LC\omega ^{2}}$

La particolare soluzione che si andava cercando deve quindi essere:
$(19)\;v_{C_{p}}(t)=Ksin(\omega t)=\frac{V_{M}}{1-LC\omega ^{2}}sin(\omega t)$

Sommando ora le due soluzioni precedentemente ottenute troviamo finalmente la nostra incognita:
$(20)\;v_{C}(t)=v_{C_{c}}(t)+v_{C_{p}}(t)=C_{1}cos(\frac{1}{\sqrt{LC} } t)+C_{2}sin(\frac{1}{\sqrt{LC} } t)+\frac{V_{M}}{1-LC\omega ^{2}}sin(\omega t)$

E dato che $\frac{1}{\sqrt{LC}}=\omega _{0}$ , possiamo riscrivere la soluzione come:

$(21)\;v_{C}(t)=v_{C_{c}}(t)+v_{C_{p}}(t)=C_{1}cos(\omega _{0}t)+C_{2}sin(\omega _{0}t)+\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}sin(\omega t)$

Sbaglio qualcosa? #-o

da **RenzoDF** » 25 dic 2009, 20:51

Per prima cosa i miei complimenti =D>

...

alle superiori "non è normale" trovare chi sappia risolvere eq. differenziali di questo tipo :mrgreen:

DOVE studi ?

NON hai sbagliato quasi nulla ...

... solo nell'ultima equazione, ultimo termine, ... LC lo hai già considerato in omega zero !

e infine mancano i calcoli dei coefficienti attraverso le condizioni iniziali ( Cauchy )

BTW nella simulazione con Pspice usa uno step più piccolo, altrimenti ti ritrovi le curve "martellate" ... oltre che "incidentate" " :wink:

da **denisrn** » 25 dic 2009, 21:14

RenzoDF ha scritto:Per prima cosa i miei complimenti ...

Grazie

...

RenzoDF ha scritto:DOVE studi ?

rimini (rn)

RenzoDF ha scritto:... solo nell'ultima equazione, ultimo termine, ... LC lo hai già considerato in omega zero !

e infine mancano i calcoli dei coefficienti attraverso le condizioni iniziali ( Cauchy )

Per quanto riguarda LC ora correggo, su carta era corretto ma a trascrivere tutta quella roba il cervello frigge easy

Per quanto riguarda le condizioni iniziali mi sto attrezzando :mrgreen:

RenzoDF ha scritto:BTW nella simulazione con Pspice usa uno step più piccolo, altrimenti ti ritrovi le curve "martellate" ... oltre che "incidentate" "

I will

PS: Grazie ancora dell' aiuto

da **RenzoDF** » 25 dic 2009, 21:20

Prego, è un piacere dialogare con degli studenti in gamba come te :!:

da **denisrn** » 26 dic 2009, 0:02

Giusto per completezza (chissa', forse un giorno potrebbe servire a qualcuno :mrgreen:

) termino l' equazione di prima:

La (21) rappresenta una famiglia di funzioni, le costanti $C_{1}$ e $C_{2}$ vanno infatti ancora definite.
Riscriviamo innantitutto la soluzione precedentemente trovata:
$(21)\;v_{C}(t)=C_{1}cos(\omega _{0}t)+C_{2}sin(\omega _{0}t)+\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}sin(\omega t)$

Le costanti possono essere trovate fissando alcune condizioni iniziali.
In questo caso presupponiamo che all' istante t=0

induttanza e capacita' non ritengano alcuna energia, sara' allora lecito scrivere:
$(22)\;v_{C}(0)=0$
$(23)\;i_{L}(0)=i_{C}(0)=0$

Ricordando che:
$(24)\;i_{C}(t)=C\frac{\text{d}[v_{C}(t)]}{\text{d}t}$

Abbiamo quindi trovato le condizioni iniziali che stavamo cercando:
$(25)\;v_{C}(0)=0$

$(26)\;\frac{\text{d}[v_{C}(0)]}{\text{d}t}=0$

Per trovare la costante $C_{1}$ ci bastera' sostituire la (21) nella (25), infatti:
$(27)\;v_{C}(0)=C_{1}cos(\omega _{0}0)+C_{2}sin(\omega _{0}0)+\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}sin(\omega 0)=C_{1}=0$

Per trovare la costante $C_{2}$ dovremmo invece prima ricavarci la derivata prima di $v_{C}(t)$ :
$(28)\;\frac{\text{d}[v_{C}(t)]}{\text{d}t}=-C_{1}\omega _{0}sin(\omega _{0}t)+C_{2}\omega _{0}cos(\omega _{0}t)+\frac{V_{M}\omega }{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}cos(\omega t)$

Possiamo ora continuare la (26):
$(29)\;\frac{\text{d}[v_{C}(0)]}{\text{d}t}=-C_{1}\omega _{0}sin(\omega _{0}0)+C_{2}\omega _{0}cos(\omega _{0}0)+\frac{V_{M}\omega }{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}cos(\omega 0)=C_{2}\omega _{0}+\frac{V_{M}\omega }{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}=0$

Risolvendo la (29) si ricava la costante $C_{2}$ , ora disponiamo quindi di entrambe:
$(30)\;C_{1}=0$

$(31)\;C_{2}=-\frac{\omega }{\omega _{0}}\left (\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}\right )$

Andando infine a sostituire le due costanti cosi' trovate nella soluzione (21) troviamo:
$(32)\;v_{C}(t)=-\frac{\omega }{\omega _{0}}\left (\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}\right )sin(\omega _{0}t)+\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}sin(\omega t)$

Eseguendo un ultimo semplice raccoglimento:

$(33)\;v_{C}(t)=\frac{V_{M}}{1-(\frac{\omega}{\omega _{0}}) ^{2}}\left (sin(\omega t)-\frac{\omega}{\omega_{0}}sin(\omega _{0}t) \right )$

C.V.D. Le equazioni differenziali sono un ottimo sonnifero :!:

da **RenzoDF** » 26 dic 2009, 0:08

Perfetto

BTW un ultimo consiglio, prima che Isidoro lo veda, la "d" della derivata in carattere dritto, non italico "d" :mrgreen:

(ti ho modificato ora la (24))

da **denisrn** » 26 dic 2009, 0:21

RenzoDF ha scritto:Perfetto

BTW un ultimo consiglio, prima che Isidoro lo veda, la "d" della derivata in carattere dritto, non italico "d" (ti ho modificato ora la (24))

Grazie del "sample", provvedo alle altre! :mrgreen:

Fatto, purtroppo il forum non mi permette di editare l' altro post :roll:

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