ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **tigerjack89** » 6 set 2012, 19:31

lillo ha scritto:prego, figurati.
sarebbe utile alla fine postare la soluzione dell'intero esercizio, in quel caso il Forum ringrazierà te

obv, mea culpa :) Tuttavia andrò a considerare il caso opposto, ovvero quello in cui l'interruttore si APRE a t = 0.
poiché in quel nodo ci sarà un circuito aperto, la corrente circolante in $R_{2}$ è la stessa circolante in

, per cui $i_{R_{2}} = i_{C}$

Nella maglia $CR_{2}E$ avremo $v_{c} + v_{2} = E$ ,
da cui $v_{c}+ R_{2}i_{2} = E$ , da cui
$v_{c}+ R_{2}i_{c} = E$

Sostituendo l'equazione del condensatore, avremo
$v_{c}+ R_{2}C\frac{\mathrm{dv_{c}} }{\mathrm{d} t} = E$
che è un'equazione differenziale.
La soluzione sarà data dalla somma della soluzione dell'equazione omogenea associata più la soluzione particolare.

OMOGENEA
$v_{c}+ R_{2}C\frac{\mathrm{dv_{c}} }{\mathrm{d} t} = 0$
Sostituendo avremo
$1 + \lambda \cdot R_{2}C = 0$ ovvero
$\lambda =\frac{-1}{R_{2}C} = \frac{-1}{6\cdot 10^{-3}}$
per cui la soluzione dell'omogenea sarà

$A \cdot e^{ \frac{-t}{6\cdot 10^{-3}}$ . Il denominatore dell'esponenziale ha le dimensioni di un tempo, per cui sarà che $6\cdot 10^{-3} = 6millisecondi (ms)$ .

PARTICOLARE
poiché il termine noto è una funzione costante, dalla teoria delle equazioni differenziali avremo che la soluzione particolare sarà proprio E = 14

.

Per cui $v_{c}(t) = A \cdot e^{ \frac{-t}{6ms}} + 14$

Per calcolare la A, dobbiamo imporre le condizioni iniziali (ovvero a t=0).

Sappiamo che a $t = 0^{-}$ il circuito è a regime, per cui al condensatore sostituiamo un circuito aperto.
Avremo quindi che $V_{1} = V_{c}$
Per conoscere $V_{c}$ dobbiamo quindi calcolare $V_{1}$
Le resistenze R2 ed R3 sono in parallelo, per cui avremo $R_{equivalente} = \frac{R_{2}R_{3}} {R_{2} + R_{3}} = 3$
La $R_{equivalente}$ è a sua volta in serie con $R_{1}$ ; la tensione in ingresso nella serie sarà proprio quella del generatore E, per cui, usando la formula per il partitore di tensione, avremo
$V_{1} = E \cdot \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{equivalente}} = 8$

Da cui $V_{c} (t=0^{-} = 8V$ . Per la continuità del condesatore, la tensione sarà identica anche a $0_{+}$ .

poiché la soluzione dell'equazione differenziale di prima vale anche per t= 0, avremo che a t = 0
$V_{c} (t=0) = A \cdot 1 + E \newline$
A = 8 - 14 = -6

In definitiva avremo
$v_{c}(t) = -6 \cdot e^{ \frac{-t}{6ms}} + 14$ .

Tornando alla $v_{c} + v_{2} = E$ , avremo che $v_{2} = E - v_{c}$
ovvero $v_{2} = 6 \cdot e^{ \frac{-t}{6ms}}$

OT: come metto spazi e newline all'interno del codice latex?? ty

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