Prima Legge di Kirchhoff

[p4ngm4n]

salve volevo chiedervi come è possibile dimostrare dal punto di vista algebrico...che la prima legge di Kirchhoff fornisce n-1 equazioni indipendenti ai nodi...

[admin]

Se scrivi le equazioni per tutti gli n nodi e le sommi tra loro trovi l'identità 0=0, il che significa che l'equazione del nodo n-simo è la somma algebrica, cambiata di segno delle equazioni degli altri n-1 nodi. L'equazione del nodo n è dunque una combinazione lineare delle equazioni degli altri n-1 nodi, quindi non è da esse indipendente.

[p4ngm4n]

si fin qui c'ero...vorrei sapere perché quelle n-1 a quel punto sono indipendenti e non giustificandolo col fatto che sammandole sottraendole o comunque una loro combinazione lineare sia nulla,ma con una dimostrazione + rigorosa dal punto di vista algebrico...Credo che questo comprenda il determinante della matrice ma non ne sono certo...

[RenzoDF]

si fin qui c'ero...vorrei sapere perché quelle n-1 sono indipendenti .... con una dimostrazione + rigorosa dal punto di vista algebrico...Credo che questo comprenda il determinante della matrice ma non ne sono certo...

Data una rete a l lati e n nodi le n equazioni che potrai scrivere saranno in l incognite, con l>n ... non si può quindi calcolare il determinante del sistema ma solo dei minori della matrice nxl.
Le equazioni indipendenti saranno pari al rango della matrice ovvero il massimo ordine dei minori non nulli.

Detto questo però per dimostrare matematicamente che sono non nulli solo i minori di ordine n-1 bisognerà studiare la topologia delle reti ... "alberi" e insiemi di "taglio fondamentali".

[p4ngm4n]

Grazie 1000...mi ha chiarito alcuni dubbi

[RenzoDF]

La dimostrazione sta nell'albero, ovvero in un insieme di lati che pur collegando tutti i nodi non forma alcuna maglia; per unire n nodi, l'albero avrà bisogno solo di n-1 rami ... se chiamiamo "insieme di taglio fondamentale" l'insieme di taglio associato a ogni lato dell'albero ci accorgiamo che sono anch'essi n-1.

BTW "insieme di taglio" non è altro che un "nodo generalizzato" ovvero una superficie chiusa attraversata dai lati della rete

Un'ultima curiosità ... non conviene sbilanciarsi parlando di "primo principio o legge di Kirchhoff" ma è più conveniente riferirsi al "principio di Kirchhoff ai nodi" in quanto per dire il vero Kirchhoff nel sua pubblicazione ufficiale
Un MUST per un Elettrotecnico ... da guardare anche se non si conosce una parola di tedesco
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http://books.google.it/books?id=gx4AAAA ... #PPA497,M1
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riporta per primo quello alle maglie e per secondo quello ai nodi ...e chi ha seguito i corsi 8.02 del Prof. Walter Lewin avrà forse notato questo scambio di numerazione