ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Nagashi** » 29 ago 2011, 14:58

Ho il seguente esercizio:
Determinare la matrice dei parametri Z per il doppio bipolo in figura

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Determino la Z_1_1

ponendo

. Quindi

.
Pongo un generatore ideale di corrente I_1

alla porta 1 e apro la porta 2 ottenendo il seguente circuito

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A questo punto decido di utilizzare il metodo delle correnti di maglia:

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Con la linea rossa ho indicato l'albero e la corrente in blu la chiamo I_x

Ora ho problemi a scrivere le equazioni alle maglie a causa di quegli induttori.. provo a spiegarmi meglio. Scrivo l'equazione alla maglia in cui scorre la I_1

:

$0 = (2R + j\omega\L)I_1 - j\omega\*MI_x + (R + j\omega\L)I_x - j\omega\*MI_x$

e l'altra maglia:

$0 = (3R + 2/(j\omega\*C) + 2j\omega\L)I_x - j\omega\*M(I_1 + I_x) - j\omega\*MI_x + (R + j\omega\L)I_1 - j\omega\*MI_x$

Sono corrette?
In pratica ogni volta che attraverso un induttore e scrivo $j\omega\L$ per la corrente, devo scrivere il corrispondente $j\omega\*M$ per tutte le correnti che attraversano l'altro iduttore?
Ringrazio per l'attenzione.

da **mariomik** » 29 ago 2011, 16:42

$\displaystyle V_{1}= \left ( 2R+j\omega L \right )\cdot I_{1}+\left ( R+j\omega L-j\omega M \right )\cdot I_{x}\\0= \left ( R+j\omega L-j\omega M \right )\cdot I_{1}+\left ( 3R+\frac{2}{j\omega C} +2 j\omega L -2j\omega M\right )\cdot I_{x}$

Le equazioni dovrebbero esser queste due.
Credo che nella seconda equazione tu abbia scritto un contributo di mutua superfluo, seguendo il tuo ragionamento per quanto riguarda le mutue (a mio avviso corretto) nella seconda maglia la $I_{x}$ attraversa una volta i due induttori della maglia stessa, quindi il $(-2j\omega M)\cdot I_{x}$ , questo non basta perché uno dei due induttori è anche attraversato dalla corrente $I_{1}$ , quindi $(-j\omega M)\cdot I_{1}$ .

da **RenzoDF** » 30 ago 2011, 9:11

Io userei un metodo un po' piu' lungo, ma di certo piu' "sicuro", con i mutui induttori "non si scherza", specie in sede d'esame :-)

Chiamate Va e Vb le tensioni alle porte del mutuo induttore, scriverei il sistema delle KVL senza esplicitarle

$\left\{ \begin{align} & V_{1}-RI_{1}-R(I_{1}+I_{x})-V_{a}=0 \\ & V_{a}+R(I_{1}+I_{x})+(2R-j2X_{C})I_{x}-V_{b}=0 \\ \end{align} \right.$

e ricordando poi le relazioni costitutive del doppio bipolo, le particolarizzerei usando per le correnti Ia e Ib alle due porte. le correti di maglia

$\begin{align} & V_{a}=jX_{L1}I_{a}+jX_{M}I_{b}=jX_{L}(I_{1}+I_{x})+jX_{M}(-I_{x}) \\ & V_{b}=jX_{M}I_{a}+jX_{L2}I_{b}=jX_{M}(I_{1}+I_{x})+jX_{L}(-I_{x}) \\ \end{align}$

a questo punto basta sostituiri per ottenere le corrette relazioni di

mariomik.

BTW
a) in questo caso poi per la forzante I1 e' conveniente usare il valore unitario' gia' in fase iniziale, in questo modo il valore numerico della tensione V1 rappresenta gia' l'impedenza cercata.
b) la scelta della seconda corrente di maglia Ix come relativa alla maglia "esterna" e con verso orario, avrebbe senza dubbio semplificato il calcolo, in quanto le correnti di maglia sarebbero state in questo caso anche le correnti alle porte del mutuo induttore, rendendo possibile una scrittura esplicita (a basso "rischio") di Va e Vb nelle due KVL iniziali.

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