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da **sPaCeMaN** » 1 set 2011, 17:39

Salve, sto studiando le onde piane come soluzioni particolari delle equazioni di Maxwell omogenee.
Premetto che la regione sede del campo elettromagnetico è, nel caso in esame, un mezzo normale (lineare, stazionario, non dispersivo nello spazio, isotropo), omogeneo nello spazio, dispersivo nel tempo e passivo.

Analizzando le equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza, mi sono sorti un paio di dubbi sulle funzioni complesse:
$\epsilon(\omega) = \epsilon_{R} (\omega) - j \epsilon_{I} (\omega)$
$\mu(\omega) = \mu_{R}(\omega) - j \mu_{I}(\omega)$
(dove $\epsilon_{I} \geq 0$ e $\mu_{I} \geq 0$ , essendo il mezzo passivo)

In primo luogo, m'interesserebbe avere un parere sulla correttezza della seguente definizione della costante dielettrica equivalente:
$rot\vec{H}(\vec{r},\omega) = j\omega\vec{D}(\vec{r},\omega) + \vec{J}(\vec{r},\omega) =$ $j \omega \epsilon(\omega) \vec{E}(\vec{r},\omega) + \sigma \vec{E}(\vec{r},\omega) =$

$= j\omega [\epsilon_{R} (\omega) - j\epsilon_{I} (\omega)] \vec{E}(\vec{r},\omega) + \sigma \vec{E}(\vec{r},\omega) = j\omega [\epsilon_{R} (\omega) - j \epsilon_{I} (\omega) - j \frac{\sigma}{\omega}] \vec{E}(\vec{r},\omega) = j\omega \epsilon_{eq} \vec{E}(\vec{r},\omega)$

In secondo luogo, mi chiedevo se, per un generico mezzo con le caratteristiche di cui sopra, ci fossero dei vincoli sui segni di $Re[\epsilon], Re[\mu]$ per $\omega > 0$ .

La mia domanda nasce dalla condizione:
Immagine

$( \vec{k} = \beta - j \alpha$ con $\alpha \geq 0 )$
e riguarda l'angolo compreso tra $\alpha$ e $\beta$ .

Svolgendo la prima equazione si ha:

$(\vec{\beta} - j \vec{\alpha})(\vec{\beta} - j \vec{\alpha}) = \omega^{2} \epsilon \mu$
Immagine

Considerando la sola equazione alle parti immaginarie:
$- 2 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = Im[\omega^2 \epsilon \mu] = \omega^2 Im[\epsilon \mu]$

Ed ecco che entrano in gioco i segni di $Re[\epsilon]$ e $Re[\mu]$ .

Mi chiedo: è possibile dimostrare, senza ricorrere all'ipotesi semplificativa $\mu = \mu0 \in \mathbb{R}$ , che l'angolo compreso tra $\alpha$ e $\beta$ , quando i due vettori non sono ortogonali né allineati, è sempre acuto?

Grazie anticipatamente, spero di non essere stato confusionario nell'esposizione dei quesiti!

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Permittività elettrica e permeabilità magnetica complesse

[1] Permittività elettrica e permeabilità magnetica complesse

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