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Capacità parziali di un sistema di conduttori

Circuiti e campi elettromagnetici

Moderatori: Foto UtenteIsidoroKZ, Foto Utenteg.schgor, Foto UtenteEdmondDantes

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[1] Capacità parziali di un sistema di conduttori

Messaggioda Foto UtenteSamFisher » 13 ago 2014, 12:30

Ciao a tutti!
Cerco il vostro aiuto in merito ad un problema spiegato nel titolo.
Premetto che: ho ben capito il concetto di capacità di un conduttore isolato, ho ben capito il problema del "sistema di conduttori" e relative matrici dei coefficienti di potenziale e dei coefficienti di capacità ed induzione.
Il problema è questo:
Si considerano n conduttori (ad es:3) cilindrici di lunghezza infinita (di raggio come vedremo piccolo rispetto alle altre grandezze geometriche) sulle cui superfici sono distribuite le cariche {Q_i'} per unità di lunghezza, posti ad una certa altezza rispetto al terreno. La permettività del terreno è {\varepsilon}>>{\varepsilon_0} dell'aria che circonda i conduttori. Dunque volendo usare ad esempio il metodo delle cariche immagini per calcolare potenziale e campo elettrico sappiamo che (viste le permittività) la superficie del terreno è equipotenziale o meglio approssimabile come equipotenziale, ed il campo è ortogonale alla sup stessa.
conduttori 1.jpg

La sup di separazione aria terreno è scelta a potenziale nullo.
Il potenziale nel generico punto P del semispazio superiore può essere calcolato mediante il principio di sovrapposizione degli effetti: V=V_1+V_2+...+V_i+...+V_n in cui V_i è il potenziale in P dovuto alla generica coppia di conduttori costituita dal conduttore i e dalla sua immagine i':
V_i=\frac{Q_i'}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_i'}{r_i} dove r_i ed r_i' sono le distanze da P del conduttore i e della sua immagine i'.
Se si pone il punto del calcolo sulla superficie del conduttore 1 ad es, abbiamo:
V_1=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}(Q'_1\ln\frac{2h_1}{r_{01}}+Q'_2\ln\frac{D'_{12}}{D_{12}}+...+Q'_n\ln\frac{D'_{1n}}{D_{1n}}) avendo assunto r_1<<2h_1 ed avendo indicato con D_{12} e D'_{12} rispettivamente le distanze tra il conduttore i ed il conduttore j e tra il conduttore i ed il conduttore j' immagine di j.....(che fatica)
Calcolando il potenziale degli altri conduttori si perviene al seguente sistema di equazioni lineari:
matrice.jpg
matrice.jpg (16.35 KiB) Osservato 3107 volte

con i coefficienti di potenziale dati da:
a_{ii}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{2h_i'}{r_{0i}} e
a_{ij}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{D'_{ij}'}{D_{ij}}

in forma matriciale:
[V]=[A][Q'] che può essere invertito risolvendo rispetto a Q' [Q']=[A^{-1}][V]=[B][V].

consideriamo l'i-esima equazione
Q'_i=b_{i1}V_1+b_{i2}V_2+...+b_{ii}V_i+...+b_{in}V_n

e aggiungiamo e togliamo la quantità b_{i1}V_1+b_{i2}V_2+...+b_{in}V_n escludendo il termine b_{ii}V_i otteniamo
Q'_i=-b_{i1}(V_i-V_1)-b_{i2}(V_i-V_2)+...-b_{in}(V_i-V_n)+(b_{i1}+b_{i2}+...+b_{ii}+...+b_{in})V_i
Si definisce ora: capacità parziale propria dell'i-esimo conduttore la quantità: C'_{ii}(b_{i1}+b_{i2}+...+b_{ii}+...+b_{in}) mentre le capacità mutue tra i vari conduttori sono C'_{ij}=-b_{ij}.
Possiamo quindi scrivere:
Q'_i=C'_{i1}(V_i-V_1)+C'_{i2}(V_i-V_2)+...+C'_{ii}V_i+...+C'_{in}(V_i-V_n)

La rete capacitiva è dunque nel caso di 3 conduttori:
rete.jpg


ORA:
1) cosa significa rete capacitiva equivalente? Equivalente perché?
2)perché le seconde armature di C_{ii} sono collegate a terra che è un dielettrico??
3) perché su nessun libro esiste questo argomento?
4)ho provato a fare da solo il caso di due sfere concentriche senza dielettrico, esempio facilissimo, ma che non coincide con i risultati noti(dopo lo posto).
5) se avete letto fin qui avete troppa pazienza
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[2] Re: Capacità parziali di un sistema di conduttori

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 13 ago 2014, 14:27

Il terreno non è un dielettrico (armatura terreno - dielettrico aria - armatura conduttore)
Per le capacita' vedi qui, qui, qui

Rete equivalente del sistema.
Il circuito da te disegnato e' una rete elettrica equivalente dal punto di vista della distribuzione del campo elettrico. Infatti quella rete tiene conto solo delle linee di spostamento elettrico che si sviluppano tra le superfici dei conduttori e il terreno (attraverso le varie capacita'). Ad esempio se ti chiedessi di calcolare le perdite unitarie in watt, utilizzando quel circuito, cosa mi risponderesti? E per studiare l'accoppiamento magnetico?
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[3] Re: Capacità parziali di un sistema di conduttori

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 13 ago 2014, 14:59

... forse possono esserti utili anche i due pdf linkati in questo vecchio thread

viewtopic.php?f=2&t=37788&p=330714#p329933
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[4] Re: Capacità parziali di un sistema di conduttori

Messaggioda Foto UtenteSamFisher » 13 ago 2014, 17:53

EdmondDantes ha scritto:. Ad esempio se ti chiedessi di calcolare le perdite unitarie in watt, utilizzando quel circuito, cosa mi risponderesti? E per studiare l'accoppiamento magnetico?

Risponderei: non lo so fare.
Grazie per le vostre risposte le ho lette, ma....sono ancora più confuso. Cioè, io non studio elettrotecnica, e sono ai primi capitoli del corso. Ho rifatto per benino tutta la parte di fisica II almeno fin qui dove si parla di capacità ma davvero non ho incontrato mai nulla di simile. Cioè io non capisco proprio il concetto.
EdmondDantes ha scritto:Il terreno non è un dielettrico (armatura terreno - dielettrico aria - armatura conduttore)

D'accordo, ma se C_{ii} si chiama capacità parziale propria perché devo mettere la seconda armatura sul terreno? è forse perché rigorosamente andrebbe messa all'infinito, ma poiché ho scelto la sup di separazione a potenziale nullo la sup stessa "fa le veci dell'infinito"??
Vi faccio ora questo esempio, per mostrarvi come non trovo connessione tra le cose(come promesso nel punto 4):
Consideriamo due sfere concentriche, siamo in elettrostatica, nulla di più facile. Vuoto intorno.
Come scritto nel Mencuccini-Silvestrini, nel Mazzoldi-Nigro-Voci, come è scritto dappertutto praticamente il calcolo dei coefficienti di capacità e di induzione o dei coefficienti di potenziale è un gioco da ragazzi. Inoltre è semplice dimostrare che per un sistema del genere, ma in generale per un qualunque altro sistema costituito da una coppia di conduttori tra i quali vi sia induzione completa (ossia un condensatore per definizione), la capacità di tale sistema ossia il rapporto tra la carica(in valore assoluto) presente su una delle due armature e la ddp esistente tra le armature non dipende in particolare dalla carica.
Infatti, come prima, scrivo: (tenendo conto che in questo caso ho: Q_1=-Q_2=Q)

\begin{Bmatrix} V_1=a_{11}Q - a_{12}Q \\ V_2=a_{21}Q-a_{22}Q\end

sommando ora membro a membro ho che ricordando che a_{12}=a_{21}

V_1-V_2=(a_{11}+a_{22}-2a_{12})Q da cui

C=\frac{Q}{V_1-V_2}=\frac{1}{a_{11}+a_{22}-2a_{12}}

che può essere scritta in funzione dei coefficienti di capacità ed induzione così:

C=\frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{b_{11}+b_{22}-2b_{12}}

Bene.
Ora io faccio così, riscrivo il mio sistema in funzione delle capacità parziali proprie e mutue, avendo

\begin{Bmatrix} Q=C_{11}V_1 + C_{12}(V_1-V_2) \\ -Q=C_{21}(V_2-V_1)+C_{22}V_2\end

e dico che il sistema è equivalente(?boh?) a questo:
equivalente.jpg
equivalente.jpg (11.54 KiB) Osservato 3050 volte

Ma questo poi deve essere un solo condesatore di capacità C=\frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{b_{11}+b_{22}-2b_{12}}

Ora C_{11}=b_{11}+b_{12}
C_{22}=b_{21}+b_{22}
C_{12}=-b_{12}.

Ora per quanto mi sforzi di calcolare non mi viene mai un condensatore equivalente di capacità :

C=\frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{b_{11}+b_{22}-2b_{12}}
Concludo dicendo, boh!
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[5] Re: Capacità parziali di un sistema di conduttori

Messaggioda Foto UtenteSamFisher » 13 ago 2014, 17:58

RenzoDF ha scritto:... forse possono esserti utili anche i due pdf linkati in questo vecchio thread

viewtopic.php?f=2&t=37788&p=330714#p329933

C'è il secondo file che deve essere veramente una figata da leggere se sapessi l'inglese...cioè se lo sapessi meglio,in queste condizioni la velocità di lettura è 2\frac{righi}{h}
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