Piccolo paradosso sull'energia cinetica

[gill90]

Si, però il punto che usi come origine per l'energia potenziale cambia perché si muove con il tuo sistema di riferimento.
Se usi un riferimento in moto per l'energia cinetica e uno a riposo per l'energia potenziale perdi la validità del principio di conservazione dell'energia, perché tutte le leggi fisiche devono valere per un dato (unico) sistema di riferimento inerziale.

[EcoTan]

Mai saputa una legge di trasformazione dell'energia potenziale con la velocità. Per me la soluzione del paradosso era già accennata in [5] anche se mancavano i calcoli quantitativi, neanche troppo semplici.

[gill90]

E se la fionda ha massa trascurabile?

[EcoTan]

Quando parlo di "massa della fionda" intendo massa della Terra con cui la fionda è solidale.
Se la fionda non fosse vincolata alla Terra, e avesse massa nulla, il proiettile non verrebbe lanciato. Se non fosse vincolata ma avesse una propria massa, bisognerebbe considerare questa.

[gill90]

Allora riformulo: se la massa della terra è infinitamente grande?

[EcoTan]

In questo caso il paradosso diventa ancora più intrigante.
Prendiamo un riferimento inerziale solidale con la Terra prima del lancio, e chiamiamolo riferimento fisso.
Rispetto a questo riferimento il proiettile viene lanciato in avanti e la Terra rincula all'indietro.
Direi che possiamo ragionare in (almeno) due modi.
1) Rispetto all'osservatore inerziale mobile, la Terra, avendo massa infinita e velocità finita, possiede energia cinetica infinita, sia prima del lancio che dopo. La sua variazione di energia cinetica prende la forma indeterminata infinito-infinito quindi siamo autorizzati a non verificare il bilancio energetico. Nel riferimento fisso, basta eguagliare l'energia potenziale della fionda all'energia cinetica del proiettile per ottenerne la velocità. Nel riferimento mobile, nota la velocità dell'osservatore, applichiamo semplicemente l'addizione della velocità, sia alla Terra che al proiettile.
2) Svolgiamo finalmente i benedetti calcoli e vediamo quello che succede facendo tendere a infinito la massa della Terra. Per adesso non posso farlo, forse ci tornerò.

[EcoTan]

Intanto cerco di ridurre il problema all'essenziale, altrimenti i calcoli diventano lunghi specialmente in Latex.
Abbiamo una fionda dotata di energia potenziale elastica E, solidale alla Terra di massa M, che lancia un proiettile di massa m. Dopo il lancio la fionda ha speso la sua energia E, il proiettile ha acquistato una velocità v e una energia cinetica w=mvv/2 mentre la Terra ha acquistato una velocità V che sarà negativa e una energia cinetica W=MVV/2.
Per la conservazione della quantità di moto mv+MV=0, per la conservazione dell'energia E=w+W.
Adesso entra in gioco un secondo riferimento inerziale dotato di velocità U.
Mettendo un apice ' alle grandezze di questo secondo riferimento, abbiamo v'=v-U, V'=V-U.
Questa volta abbiamo anche una velocità iniziale del proiettile vi=-U con energia cinetica wi=mUU/2 ed una velocità iniziale della Terra Vi=-U con energia cinetica Wi=MUU/2.
poiché le energie cinetiche sono molto variate rispetto al riferimento precedente, vogliamo verificare che la conservazione dell'energia resti valida in questo secondo riferimento.
La fionda spende sempre l'energia elastica E mentre l'energia cinetica acquistata dal proiettile e dalla Terra vale:
(w'-wi') + (W'-Wi') = m(v-U)(v-U)/2-mUU/2 + M(V-U)(V-U)/2-MUU/2
che sviluppando i prodotti e facendo qualche sostituzione si può mettere nella forma
E-U(mv+MV)
ma per la conservazione della quantità di moto mv+MV=0, quindi ritroviamo ancora E e il bilancio quadra.
Direi che la matematica sottostante a questo apparente paradosso è lo sviluppo del quadrato di un binomio.
Mi scuso perché non ho usato Latex e in effetti è venuto brutto.

[gill90]

Sono d'accordo con quello che hai scritto, mi torna.

Ti spiego brevemente come l'ho interpretata io: l'analisi che hai fatto presuppone di mettersi in un sistema di riferimento "esterno" e di calcolare la quantità di moto dell'intero sistema composto da proiettile+terra.
Se invece volessimo vedere il problema da un sistema solidale con la terra (che non la contiene), avremmo a che fare solo con molla e massa.

Per come la vedo io, se il mio sistema di riferimento è in moto rispetto al sistema molla+massa, quello che noto è che la molla fa più "strada" durante la sua estensione: se nel sistema di riferimento fisso per estendersi completamente spazia una lunghezza in un tempo , in quello in moto dovrà fare , dove è la velocità del sistema di riferimento.
In generale, se nel fisso faccio un in quello in moto faccio .

Per questa ragione, se voglio quantificare l'energia rilasciata dalla molla, mi ritrovo a dover calcolare . Nel caso fisso, questa corrisponde all'energia potenziale , mentre nel caso in moto diventa .
Il primo integrale è l'energia della molla che trovo anche nel caso a riposo, mentre il secondo, ricordando che , diventa , che è quello che manca per l'equilibrio del bilancio energetico e rappresenta il lavoro extra fatto in un SDR in moto.


Su una cosa credo però che tu abbia ragione: questo contributo è assimilabile a un'energia cinetica più che a un'energia potenziale.
Io ho troppo semplicisticamente considerato il secondo termine come un'estensione del contributo potenziale dell'energia della molla (in virtù dell'allungamento aggiuntivo dovuto alla velocità, come se dovesse fare più strada e quindi avesse più energia), ma sviluppando il conto prende più le sembianze di una correzione cinetica. Cioè, con la molla in moto ho un contributo di lavoro in più ma questo non rientra nel computo dell'energia potenziale.

Azzarderei che in questo caso il sistema deve compiere lavoro per mantenere l'equilibrio del bilancio energetico, ma prima di scrivere qualche castroneria (e anzi, forse l'ho già fatto) sarebbe interessante sentire il parere di qualche esperto per capire che cosa rappresenti effettivamente questo contributo aggiuntivo.