ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **DirtyDeeds** » 1 dic 2010, 23:33

Tutto chiaro, mo'! E direi che il più qualificato a scrivere l'articolo è carloc, io invece vado a farmi dare la pala da RenzoDF

da **RenzoDF** » 1 dic 2010, 23:41

Io son ancora qui che aspetto la funzione di trasferimento della mia rete ... che vi avevo assegnato come compito per casa ! :-"

BTW ovviamente, la rete che ho proposto, si potrebbe teoricamente "allungare" a dismisura per ottenere un guadagno piu' elevato,

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ma l'accettabilità pratica viene presto a cadere a causa dell'impraticabile range della sequenza di valori ohmico capacitivi necessari :!:

(per esempio, passando dalle mie 2 ad 8 celle si puo' superare un guadagno di 1,4 )

da **DirtyDeeds** » 2 dic 2010, 0:47

Fatto il compitino! Ecco il mio svolgimento: innanzitutto ridisegno il circuito così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Poiché $V_\text{o}=V_\text{i}-V_2$ , la funzione di traferimento è H(s) = 1-G(s)

dove $G(s) = V_2/V_\text{i}$ . G(s)

ha due poli, per cui il denominatore lo posso scrivere come D(s) = 1+a_1s+a_2s^2

. I coefficienti a_1

e

li determino con il metodo di Cochrun-Grabel-Rosenstark e ottengo

a_1= R_1C_1+(R_1+R_2)C_2

e

Poi

ha due zeri nell'origine, e per $s\rightarrow\infty$ , $G(s)\rightarrow 1$ . quindi il coefficiente del numeratore è uguale ad a_2

. Morale:

$G(s) = \frac{a_2s^2}{1+a_1s+a_2s^2}$

da cui

$H(s) = \frac{1+a_1s}{1+a_1s+a_2s^2}$

Uhm... però c'è qualcosa che non mi quadra con l'ordine dei poli e degli zeri (per avere amplificazione)... adesso sono stanco, investigherò domani!...

da **RenzoDF** » 2 dic 2010, 0:55

DirtyDeeds ha scritto:Fatto il compitino!

Perfetto

... a parte il metodo :mrgreen:

DirtyDeeds ha scritto:... li determino con il metodo di Cochrun-Grabel-Rosenstark

ma dico io, il metodo dell'idraulico è piu' veloce :!:

$H(s)=\frac{v_{o}}{v_{i}}=\frac{\frac{1}{R_{2}}\left( \frac{1}{R_{1}}+sC_{1} \right)-\left( -\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{1}} \right)sC_{2}}{\left( \frac{1}{R_{2}}+sC_{2} \right)\left( \frac{1}{R_{2}}+sC_{1}+\frac{1}{R_{1}} \right)-\frac{1}{R_{2}^{2}}}$

$H(s)=\frac{1+s[R_{1}C_{1}+\left( R_{1}+R_{2} \right)C_{2}]}{1+s[R_{1}C_{1}+\left( R_{1}+R_{2} \right)C_{2}]+s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}$

da **carloc** » 2 dic 2010, 1:09

Beh allora per questa confermerei

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

la fdt (by tensioni nodali) dovrebbe essere

$F(s)=\frac{(C_2R_2+C_1R_1+C_2R_1)s+1}{C_1C_2R_1R_2s^2+(C_2R_2+C_1R_1+C_2R_1)s+1}$

per ora analizzerei il caso in cui R_1C_1=R_2C_2=1

cioè poli "isolati" uguali tra loro ed uguali ad 1, anche qui il valore non è importante. Però terrei in considerazione il fatto che i valori delle R possano essere diversi, diciamo $\frac{R_1}{R_2}=\frac{C_2}{C_1}=a$ allora la fdt diventa

$F(s)=\frac{(2+a)s+1}{s^2+(2+a)s+1}$

$F(j\omega)=\frac{1+j(2+a)\omega}{1-\omega^2+j(2+a)\omega}$ e in modulo

$|F(j\omega)|^2=\frac{1+(2+a)^2\omega^2}{(1-\omega^2)^2+(2+a)^2\omega^2}$

ora il solito Wolfram mi direbbe che in $\left\{ a>0, \omega >0 \right\}$ dovrei avere un massimo relativo di $\frac{4}{3}$ se $a \rightarrow 0$ e $\omega=\frac{\sqrt{2}} {2}$ .

Allora facendo la radice si arriverebbe a $\frac{2}{ \sqrt{3} } \approx 1.1547$

Intuitivamente $a \rightarrow 0$ significa poi R2 "elevata" e C2 "piccolo"come dire impedenza vista dall'uscita elevata, un po' come un trasformatore in salita, da un punto di vista energetico mi pare un effetto collaterale inevitabile.

La fase poi, comincio ad essere un po' lesso :roll:

, però se non ho sbagliato i conti siamo intorno -16 deg, direi che farci un oscillatore la vedo più dura...

da **IsidoroKZ** » 2 dic 2010, 7:29

Mi pare fosse carloc che chiedesse una rete in cui ingresso e uscita fossero riferite allo stesso punto: eccolo servito!

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Lo zero volt puo` essere preso dove uno vuole, e prendendolo dove l'ho messo, ingresso e uscita sono riferiti allo stesso punto. Ora si puo` ridisegnare lo schema, e gia` che ci sono metto anche il duale:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La rete proposta da DirtyDeeds e` a tre condensatori perche' sta cercando soluzioni funzione di trasferimento reale, invece RenzoDF ha proposto la rete a due celle, che disegnata come l'aveva fatto inizialmente non l'avevo riconosciuta. Poi l'ha generalizzata a N celle.

La rete a due celle ha guadagno, ma come diceva Candy con solo due condensatori non si riesce ottenere una funzione di trasferimento reale.

Il valore massimo che si puo' ottenere di guadagno e` nel caso di celle non interagenti, che si puo` calcolare con questo circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In cui ci sono dei buffer a guadagno unitario fra uno stadio e l'altro, ed e` in pratica il conto che ha fatto carloc in precedenza. Per far si` che le celle non interagiscano (troppo), senza barare mettendo dei buffer che non sono passivi, si deve alzare il livello di ogni cella rispetto alla precedente.

Proviamo a generalizzare questo conto, cercando il massimo guadagno che si puo` avere con fdt reale e N celle.

Funzione reale vuol dire che la tensione di uscita deve essere sfasata di $\pi$ rispetto all'ingresso. Essendoci N celle tutte uguali, ognuna deve provvedere uno sfasamento di $-\frac{\pi}{N}$ .

Consideriamo una funzione di trasferimento del primo ordine, con frequenza normalizzata: $\frac{1}{1+\text{j}\Omega}$ . Questa funzione fornisce il ritardo di fase voluto alla frequenza:

$-\frac{\pi}{N}=-\arctan(\Omega) \,\Rightarrow \, \Omega=\tan\left (\frac{\pi}{N}\right )$

La funzione di trasferimento di N celle in cascata, senza effetti di carico vale quindi $\left ( \frac{1}{1+\text{j}\tan(\pi/N)}\right )^N$ .
La fase di questa espressione vale $\pi$ , interessa solo calcolare il modulo:

$\left | \frac{1}{\sqrt{1+(\tan(\pi/N))^2}} \right|^N=(\cos(\pi/N))^N$ e di conseguenza il massimo guadagno reale della rete vale

$\frac{V(o)}{V(in)}\right |_{max}=1-\left ( \frac{1}{\sqrt{1+(\tan(\pi/N))^2}} \right)^N=1-(-\cos\left (\frac{\pi}{N}\right )^N)=1+\cos\left (\frac{\pi}{N}\right )^N$
Questo massimo si ha alla frequenza $\Omega=\tan\left (\frac{\pi}{N}\right )$ .

Per N=2 il valore e` 1 a frequenza infinita: due soli condensatori danno ritardo di fase di 180 gradi a frequenza infinita, ma con attenuazione infinita.

Per N=3 si ha guadagno pari a $1+(\cos(\pi/3))^3=\frac{9}{8}$ alla frequenza $\Omega=\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$

Per N=4 il guadagno vale $\frac{5}{4}$ alla frequenza $\Omega=1$
ecc ecc. Il limite del guadagno per $N\to \infty$ e` 2.

Tutto questo con il vincolo di tensione di uscita in fase con quella di ingresso. Se si rimuove questa limitazione il guadagno e` maggiore, ma non riesco a trovare una formula analitica per il massimo, mi pianto contro una espressione del tipo $\cos(n\arctan(x))$ che assomiglia solo alla definizione dei polinomi di Chebyshev

Con valutazione numerica mi sembra che anche qui ci sia un valore massimo pari a 2.

da **DirtyDeeds** » 2 dic 2010, 10:50

RenzoDF ha scritto:ma dico io, il metodo dell'idraulico è piu' veloce

Vero, ma era per non usare tutti lo stesso metodo! ;-)

da **RenzoDF** » 2 dic 2010, 11:20

In che senso "funzione di trasferimento reale" ?

IsidoroKZ ha scritto:Con valutazione numerica mi sembra che anche qui ci sia un valore massimo pari a 2.

Epstein diceva così, (non quello del giogo ... ma uno studente "in gamba" :mrgreen:

)

Synthesis of Passive RC Networks with Gains Greater than Unity.pdf: (491.86 KiB) Scaricato 441 volte

ma direi che si puo' superare :-)

da **IsidoroKZ** » 2 dic 2010, 11:39

1) Come hai fatto a trovarlo?

2) Mi pare ci sia un errore: dice che il massimo guadagno si ha quando la rete sfasa di 180 gradi, ma non mi pare sia vero.

da **RenzoDF** » 2 dic 2010, 14:51

IsidoroKZ ha scritto:1) Come hai fatto a trovarlo?

con Google

http://techpreservation.dyndns.org/beit ... 0Unity.pdf

IsidoroKZ ha scritto:2) Mi pare ci sia un errore: dice che il massimo guadagno si ha quando la rete sfasa di 180 gradi, ma non mi pare sia vero.

a dire la verità devo ancora leggerlo, gli ho solo dato un occhio veloce ... e ora mi tocca andare a spalare :mrgreen:

Edit 18:50 .... hai ragione Isidoro, e con tutto il rispetto per il caro Herman, avrei anche altri appunti sul documento :-)

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