I pacchi

[Ivan_Iamoni]

A parte che il notaio sa cosa contengono i pacchi (riferendomi al gioco specifico).

Situazione 1 - Sà che non hai il premio nel tuo pacco, quindi ti propone uno scambio per aumentare la convinzione che nel tuo vi sia veramente il premio e per alzare lo share del programma.
Ma se accetti, per lui "sarebbe" una perdita.
Quindi questa situazione è più difficile.

Situazione 2- Sà che hai il premio, e prova a proporti lo scambio per provare a farti fesso.
Questa situazione è più probabile della precedente.

Seguendo la legge di Murphy nessuna delle due precedenti scelte cambierà l'esito negativo del gioco (a sfavore tuo)

Aprirei il mio pacco restante in ogni caso, se ti propone lo scambio come vedi, nelle due situazioni precedenti, sono le probabilità maggiori a tuo favore.

Personalmente nelle migliore delle ipotesi otterrei un cospicuo premio in denaro nella peggiore un calcio nelgi stinchi, ma sono abituato a ben peggio, quindi.... il rischio vale la candela.

[Berello]

Bene, ci ho riflettuto un po' e sono riuscito ad estrarre il concetto intuitivo dalle formule che ho scritto prima.

Il concetto fondamentale del problema di Monty Hall è che è poco probabile che il concorrente scelga alla prima botta il premio. Perciò conviene cambiare.
Ovviamente anche quando le scelte dei pacchi sono casuali è poco probabile che il concorrente scelga alla prima botta il premio, però è anche vero che è altrettanto poco probabile che il caso scelga il premio come pacco rimanente (mentre nel caso di Monty Hall la probabilità che il premio rimanga è 1).



Vediamo i possibili casi per toglierci ogni dubbio.

Pacchi aperti alla Monty Hall (dal presentatore, che ne conosce il contenuto)
Sulle 20 possibili scelte del concorrente, solamente una è quella che coinvolge il premio. Se avviene quella scelta, cambiando il pacco si perde.
Le altre 19 possibili scelte del concorrente faranno si che cambiare pacco porti alla vittoria (perché il presentatore lascerà solamente il pacco vincente). In ognuno di questi casi 19 casi, il presentatore sarà obbligato a lasciare il pacco vincente. Perciò esistono 19 casi in cui si vince cambiando il pacco.
Riepilogando: c'è 1 caso sul totale in cui il concorrente si ritrova con il pacco vincente in mano, ci sono 19 casi sul totale in cui il presentatore sceglie il pacco vincente come alternativa.

Pacchi aperti casualmente
Sulle 20 possibili scelte del concorrente, solamente una è quella che coinvolge il premio. Se avviene quella scelta, cambiando il pacco si perde; infatti il caso ha 19 possibili scelte per il pacco rimanente, che portano tutte ad un pacco vuoto. Quindi esistono tra tutti i casi possibili 19 possibilità di avere il pacco vincente in mano.
Le altre 19 possibili scelte del concorrente non fanno si che cambiare pacco porti sempre alla vittoria (come era prima nel caso "alla Monty Hall"). Infatti il caso non lascia necessariamente il pacco vincente come ultimo pacco. Per ognuna di queste 19 scelte del concorrente, il caso potrà scegliere di conservare un pacco qualsiasi tra i 19 restanti, solo uno dei quali contiene il premio; se per ognuna delle 19 scelte del concorrente c'è una sola possibilità che rimanga il pacco vincente per ultimo, vuol dire che in totale ci sono 19 casi possibili che rimanga il pacco vincente come ultimo.
Riepilogando: ci sono 19 casi sul totale in cui il concorrente si ritrova con il pacco vincente in mano, ci sono 19 casi sul totale in cui il caso sceglie il pacco vincente come alternativa. Parità!
Adesso, per trovarci nella situazione del primo messaggio di questa discussione, bisogna "filtrare" la totalità dei casi possibili, scegliendo solamente quelli in cui il premio è rimasto fino alla fine del gioco, cioè questi 19+19=38 casi che ho appena descritto. Vediamo allora che la metà delle volte il concorrente ha in mano il premio, l'altra metà delle volte non lo ha.



Spero di non aver fatto errori nel ragionamento: i problemi di probabilità mi nascondono spesso inganni che sono per me difficili da vedere...
Mi sembra però che fili tutti, nel qual caso credo che allora dovremmo esserci tutti tolti un dubbio!

P.S.:
Ho letto ora il messaggio di Ivan e, beh, come non condividere l'ultima frase!