ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **RenzoDF** » 3 dic 2010, 16:10

Andando avanti con una nuova rete, usando questa

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possiamo arrivare ad un guadagno intorno a 1.2 e, come dicevo, usando diverse di queste celle in cascata, e sempre da un punto di vista teorico, possiamo arrivare a superare il guadagno massimo pari a 2 ipotizzato, ma non dimostrato, da Epstein ;-)

BTW Il calcolo dei vincoli fra i parametri della rete per raggiungere detto valore di 1.2, lo lasciamo ai nostri "ragazzi in gamba" del forum :mrgreen:

da **IsidoroKZ** » 3 dic 2010, 18:17

RenzoDF ha scritto:In che senso "funzione di trasferimento reale" ?

Voglio dire fase della funzione di trasferimento

oppure $\pi$ , cosa che puo` essere richiesta se si vuole fare un oscillatore e l'amplificatore usato non sfasa di suo.

Oggi vedo se riesco ad analizzare l'ultimo circuito che hai proposto. Come ti e` venuto in mente?

da **RenzoDF** » 3 dic 2010, 18:29

IsidoroKZ ha scritto:Voglio dire fase della funzione di trasferimento oppure $\pi$ , cosa che puo` essere richiesta se si vuole fare un oscillatore e l'amplificatore usato non sfasa di suo.

ok! ... ma nella domanda iniziale del post, non era imposto questo vincolo :-)

IsidoroKZ ha scritto:Oggi vedo se riesco ad analizzare l'ultimo circuito che hai proposto. Come ti e` venuto in mente?

... me lo ha suggerito stanotte il tuo amico, il Grande Prof. Middlebrook, ma mi ha fatto promettere che lo si doveva studiare con l'extra element theorem :mrgreen:

da **DirtyDeeds** » 3 dic 2010, 19:15

RenzoDF ha scritto:
IsidoroKZ ha scritto:Voglio dire fase della funzione di trasferimento oppure $\pi$

ok! ... ma nella domanda iniziale del post, non era imposto questo vincolo

Ho involontariamente polarizzato la discussione verso funzioni di trasferimento reali ;-)

Curioso il nuovo circuito, due celle a T, ma con i componenti permutati: vedrò di analizzarlo il prima possibile... intanto sto lavorando a un'altra idea... ma non ve la dico ancora ;-)

da **RenzoDF** » 3 dic 2010, 20:08

DirtyDeeds ha scritto:Curioso il nuovo circuito, due celle a T, ma con i componenti permutati:

Posto il risultato della simulazione con LTspice che conferma l'analisi simbolica 3-EET

: 2010-12-03_185821.gif (17.83 KiB) Osservato 9185 volte

da **carloc** » 4 dic 2010, 11:13

..in effetti la "doppio T" è intrigante... non ho avuto molto tempo da dedicarci ma...

nell'ipotesi di celle indipendenti R_3>>R_1

e

la fdt si trova facile facile

$F(s)=\left(\frac{1}{R_3}\frac{\tau_1 s}{\tau_1 s +1}+C_3 s \frac{1}{\tau_2 s +1}\right)/\left(\frac{1}{R_3}+C_3 s\right)$ dove ovviamnete $\tau_1=R_1 C_1 \,\,\ldots$

$F(s)=\left(\frac{\tau_1 s}{\tau_1 s +1}+\frac{\tau_3 s}{\tau_2 s +1}\right)/(\tau_3 s +1)= s\frac{\tau_1(\tau_2 s +1)+\tau_3(\tau_1 s +1)}{(\tau_1 s+1)(\tau_2 s +1)(\tau_3 s +1)}$

e infine

$F(s)=(\tau_1+\tau_3)S\frac{\tau_0 s +1}{(\tau_1 s+1)(\tau_2 s +1)(\tau_3 s +1)}$ dove $\tau_0=\tau_1\frac{\tau_2 + \tau_3}{\tau_1 +\tau_3}$ è la costante di tempo dello zero non nell'origine

ora abbiamo
1) uno zero nell'origine
2) la costante moltiplicativa $\tau_1 +\tau_3$
3) tre poli "controllabili" dai valori dei componenti
4) uno zero dipendente dai poli..

la posizione relativa di queste singolarità controlla il comportamento della fdt..occorre fare in modo che partendo da $\omega=0$ il diagramma di Bode "salga" il più possibile... alcune simulazioni e calcoli ancora troppo abbozzati per "pubblicarli" suggeriscono che sia il rapporto $\tau_1 / \tau_2$ a regolare la cosa....

Appare anche possibile avere un "guadagno" maggiore di 1 su una banda di frequenze relativamente larga ( 2 o 3 decadi) che mi pare interessante....

Forza DirtyDeeds non fare il modesto

... si vede bene che matematico sei :ok:

da **DirtyDeeds** » 4 dic 2010, 21:40

Ecco, per chi non ha ancora mal di testa (io ce l'ho #-o

), la versione del circuito di RenzoDF a parametri distribuiti! °_.

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Assumendo che la linea abbia lunghezza

, resistenza per unità di lunghezza $\mathcal{R}(z)=\mathcal{R}_0\text{e}^{az}$ , con $a\ge 0$ , e capacità per unità di lunghezza $\mathcal{C}(z)=\mathcal{C}_0\text{e}^{-az}$ , in modo tale che il prodotto $\mathcal{R}(z)\mathcal{C}(z)$ sia costante lungo tutta la linea, determinare la funzione di trasferimento $V_\text{o}/V_\text{i}$ del circuito, il massimo ecc. ecc. (insomma, la solita roba

)

Decisamente, mi sembra che il massimo non sia determinabile per via analitica, ma solo per via numerica.

da **DirtyDeeds** » 6 dic 2010, 14:55

Ecco la mia soluzione della cella a doppio T proposta da RenzoDF: per la soluzione, ho usato il famoso metodo conosciuto con il nome di "ammuzzo" :mrgreen:

Spero vi piaccia ;-)

Per semplicità riporto qui sotto il circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e tanto per non faticare troppo, tolgo subito il gruppo composto da R_3

e da

, ottenendo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Possiamo scrivere $V_k = H_k(s)V_\text{i}$ con

$H_1(s) = \frac{s\tau_1}{1+s\tau_1}$

$H_2(s) = \frac{1}{1+s\tau_2}$

dove $\tau_1=R_1C_1$ e $\tau_2=R_2C_2$ . Una prima osservazione che può essere interessante è la seguente: sostituendo $s=\text{j}\omega$ vediamo che nel piano immaginario le due funzioni di trasferimento, per $\omega$ che va da zero a infinito, percorrono, in senso orario, due semicerchi di raggio unitario e centro in (1/2,0)

.

Ora, facciamo un cambio di variabile e definiamo le tensioni di modo comune e di modo differenziale rispettivamente come $V_\text{C}=(V_1+V_2)/2$ e $V_\text{D}=V_1-V_2$ . Si ha $V_\text{C}=H_\text{C}(s)V_\text{i}$ e $V_\text{D}=H_\text{D}(s)V_\text{i}$ con

$H_\text{C}(s) = \frac{H_1(s)+H_2(s)}{2} =\frac{1}{2}\frac{1+2s\tau_1+s^2\tau_1\tau_2}{1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2\tau_1\tau_2}$

$H_\text{D}(s) = H_1(s)-H_2(s) =\frac{1-s^2\tau_1\tau_2}{1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2\tau_1\tau_2}$

Un'altra osservazione interessante potrebbe essere questa: nelle funzioni di trasferimento sopra facciamo la sostituzione $s\leftarrow 1/(s\tau_1\tau_2)$ , ottenendo due nuove funzioni di trasferimento $H^\prime_\text{C}(s)$ e $H^\prime_\text{D}(s)$ . E' facile verificare che $H^\prime_\text{C}(s)=H_\text{C}(s)$ e $H^\prime_\text{D}(s)=-H_\text{D}(s)$ . Questo implica che se $|H_\text{C}(\text{j}\omega)|$ e $|H_\text{D}(\text{j}\omega)|$ hanno un estremo per $\omega=\omega_1$ , c'è un estremo anche in $\omega=1/(\omega_1\tau_1\tau_2)$ . Poiché con solo due poli e due zeri non si riescono ad avere due estremi distinti questi due valori devono coincidere: si ha un estremo (un massimo o minimo) per

$\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{\tau_1\tau_2}}$

Notiamo, comunque, che $|H_\text{D}(\text{j}\omega)|\le 1$ (è una corda del cerchio di raggio unitario!) e $|H_\text{C}(\text{j}\omega)|\le 1$ . Definiamo la pulsazione normalizzata $\Omega=\omega/\omega_1$ : con questa posizione si può scrivere

$H_\text{C}(\text{j}\Omega) = \frac{1}{2}\frac{1+2\text{j}\alpha\Omega-\Omega^2}{1+\text{j}\frac{1+\alpha^2}{\alpha}\Omega-\Omega^2}$

$H_\text{D}(\text{j}\Omega) = -\frac{1+\Omega^2}{1+\text{j}\frac{1+\alpha^2}{\alpha}\Omega-\Omega^2}$

con $\alpha = \sqrt{\tau_1/\tau_2}$ . Per $\Omega=1$ , le due funzioni valgono

$H_\text{C}(\text{j}) =\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2}$

$H_\text{D}(\text{j}) = \text{j}\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}$

Fatte tutte queste premesse, possiamo rimettere i componenti mancanti: con le trasformazioni fatte il circuito diventa

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per la sovrapposizione degli effetti abbiamo

$H(\text{j}\Omega) = \frac{V_\text{o}}{V_\text{i}} = H_\text{C}(\text{j}\Omega)+\frac{H_\text{D}(\text{j}\Omega)}{2}F(\text{j}\Omega)$

dove $F(\text{j}\Omega)$ dipende da Z_1

,

,

e

. Se imponiamo che l'impedenza del gruppo R_3

-

sia molto maggiore di Z_1

e

si ha

$F(\text{j}\Omega)\approx\frac{1-\text{j}\beta\Omega}{1+\text{j}\beta\Omega} =\text{e}^{-2\text{j}\arctan(\beta\Omega)}$

con $\beta = \tau_3/\sqrt{\tau_1\tau_2}$ . La cosa bella è che l'effetto di $F(\text{j}\Omega)$ è solo quello di ruotare $H_\text{D}$ : dato un $\Omega$ e un $\alpha$ , possiamo scegliere $\beta$ in modo che il modulo di

sia massimo. Questo massimo, per i motivi di simmetria esposti all'inizio, deve essere proprio per $\Omega=1$ , quando $F(\text{j})=-\text{j}$ , in modo che $H_\text{C}(\text{j})$ e $H_\text{D}(\text{j})F(\text{j})$ abbiano la stessa fase. In queste condizioni

$|H(\text{j})| = |H_\text{C}(\text{j})|+\frac{|H_\text{D}(\text{j})|}{2}=\alpha\frac{\alpha+1}{1+\alpha^2}$ .

Il massimo di questa funzione si ha per $\alpha = 1+\sqrt{2}$ , $\beta=1$ e vale $|H(\text{j})|_\text{max}\approx 1{,}207$ .

O_/

da **RenzoDF** » 6 dic 2010, 16:17

DirtyDeeds ha scritto:Il massimo di questa funzione si ha per $\alpha = 1+\sqrt{2}$ , $\beta=1$ e vale $|H(\text{j})|_\text{max}\approx 1,207$ .

BRAVISSIMO ! i miei COMPLIMENTI =D>

Proprio così !
$\alpha _{\max }=1+\sqrt{2}$

$A{}_{\max }=\frac{4+3\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$

DirtyDeeds ha scritto:... per la soluzione, ho usato il famoso metodo conosciuto con il nome di "ammuzzo" Spero vi piaccia

a dire il vero io avrei percorso una strada diversa .... come ben sai io preferisco il metodo dell' "ennuzzo" :mrgreen:

da **DirtyDeeds** » 6 dic 2010, 21:46

RenzoDF ha scritto:come ben sai io preferisco il metodo dell' "ennuzzo"

Vuoi la verità? Ho scoperto l'esistenza dell'EET su questo forum, prima non ne avevo mai sentito parlare! :oops:

(da studente universitario - sì, be', anni passati da un pezzo ormai

- mi hanno fatto odiare l'elettrotecnica e la teoria delle reti, e per anni non ho più aperto un libro che ne parlasse). Per recuperare, ho aggiunto il Vorperian alla mia collezione di libri... prima o poi riuscirò anche a darci un'occhiata, per adesso mi arrangio con i "ferri del mestiere" che mi porto dietro ;-)

Tutto sommato, comunque, devo dire che i metodi "a muzzo" mi piacciono particolarmente

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