Math expression.

[Ianero]

Evidentemente sono ignorante io, quale canale? Linkamme please
Anzi, quella è proprio una definizione.

[Candy]

Ho degli amici che vivino dall'altra parte del Canale della Manica. tali PietroBaima, PietroB... e Pietro qualcosaltro. Seguendo i link proposti dall'articolo di simo85, questi amici scrivono che non è sempre vero. Ora i link sono un poco da andare a cercare.

[PietroBaima]

mi sembra di intuire che il messaggio sia questo: la funzione di radice ha senso solo se il sistema numerico usato è scalare, appiattito in un suo mondo monodimensionale. Ha senso parlare di radice per i classici numeri scalari.

In pratica sì, anche se un matematico ti direbbe di no.
Cerco di spiegarmi senza tirare dentro troppa matematica.

Quando si è introdotto il simbolo di radice quadrata si voleva trovare la funzione inversa della funzione x^2.

Niente di male, peccato che l'inversa di quella funzione non c'è, nel senso che non è una funzione.

Cosa voglio dire? Se mi chiedo qual è quel numero che elevato al quadrato fa 5 la risposta corretta è che la domanda non ha senso, perché non esiste un solo numero che elevato al quadrato faccia 5, ma ne esistono ben due, uno positivo e uno negativo.
Quindi non è possibile definire univocamente una funzione che permetta di rispondere alla richiesta.

Quello che si può fare è operare una restrizione, cioè assumere che la funzione inversa del quadrato sia quel valore, assunto positivo, che elevato al quadrato permetta di tornare al numero di partenza.

A questo punto mi invento un simbolo per indicare la radice e dico che la radice di 5 vale .
Con questa scrittura intendo dire: il valore indica quel numero che elevato al quadrato fa 5.
Non nomino e non considero altre soluzioni.

Ora, in campo reale, posso forzare un po' la mano alla funzione dicendo che esiste anche il valore che elevato al quadrato fa 5.
Quello a cui bisogna fare attenzione però è che a rigore sto considerando una funzione diversa da quella di prima.
In campo reale non è un problema perché questa imprecisione, chiamiamola così, non ha mai conseguenze gravi.

Quando però passo in campo complesso questo non è più vero, tanto è vero che i matematici sono meno inclini a parlare di funzioni e preferiscono parlare di relazioni complesse.
Terminologia a parte, se facessi in campo complesso quello che faccio in campo reale confondendo le due radici farei degli errori.
In campo complesso quando parlo di radice di z intendo sempre una qualunque delle soluzioni della equazione , che non è , a meno che q non sia reale (soluzione ovvia) ma è quell'insieme di soluzioni più vasto che possono dare i numeri complessi, esprimendo q in forma polare.

L'unica operazione corretta resta l'elevamento al quadrato, per cui è corretto dire, in campo complesso che .

Se uscissi dal piano e usassi i quaternioni, non sarebbe nemmeno più corretto dire che , perché dovrei usare Levi-Civita per indicare i versori di quello spazio.

Per farla breve in questo caso sarebbe solo più corretto dire che , dove bisognerebbe anche definire molto bene quel prodotto.
In generale perdo la proprietà commutativa del prodotto (a * b diventa diverso da b * a, SIGH).
Questo ha la conseguenza drammatica l'equazione , per esempio, abbia un numero infinito di soluzioni.

Con gli ottonioni le cose sono ancora più complicate perché perdo anche la commutatività della somma (z+w è diverso da w+z, ) e per i sedenioni (numeri ipercomplessi a 16 dimensioni) le cose diventano ingestibili, tanto che questa matematica è stata lentamente superata da algebre più potenti.

Spero di avere risposto
Ciao,
Pietro.

[DanteCpp]

aaah bellina!

[Ianero]

Il mio prof di campi fece la differenza tra e , scrivendo che una è la radice di meno uno negativa e l'altra quella positiva.

[PietroBaima]

PietroBaima posso aggiungere questa bella risposta alla raccolta dell'articolo ?

Mi chiedo sempre di come le mie risposte possano generare così tanto interesse, anyway, certo, se pensi che sia utile inseriscila pure.

Ciao,
Pietro.

[PietroBaima]

Il mio prof di campi fece la differenza tra e , scrivendo che una è la radice di meno uno negativa e l'altra quella positiva.

sbagliando

[Ianero]

Era un bravissimo professore però
In ogni caso, quando si usa questa notazione diversa c'è una differenza sostanziale o no?

[PietroBaima]

Era un bravissimo professore però
In ogni caso, quando si usa questa notazione diversa c'è una differenza sostanziale o no?

Sbagliava apposta, sapendo di sbagliare, probabilmente. Su quella notazione ci sarebbe molto da dire, coinvolgendo anche Fourier.

Quando si usa quella notazione in pratica si fa un abuso di notazione per snellire la notazione stessa, più che inserire differenze più o meno sostanziali.

[Ianero]

Ne possiamo parlare?