Procedura algebrica per determinare le componenti di B

[bruce]

Procedura algebrica per la determinazione del vettore B(nel sistema gaussiano)

Scegliamo 3 assi ortogonali(x1,x2,x3) e indichiamo con (v1,v2,v3) e (B1,B2,B3) le componenti di v e B,
per una nota formula di calcolo vettoriale si ha

v× B= x1,x2,x3
v1,v2,v3
B1,B2,B3

Dove il determinante della matrice al secondo membro va sviluppato secondo gli elementi della prima riga applicando le usuali regole di segno

(v× B)1=v2 B3-v3 B2 (v× B)2= v3 B1-v1 B3 (v× B)3=v1 B2-v2 B1

Va osservato che la validità di queste espressioni è subordinata alla scelta di una terna levogira(come si evince dal prodotto vettoriale tra i versori degli assi coordinati)

In termini di componenti la definizione formale di prodotto vettoriale F=q/c(v× B) del campo magnetico

F1=q/c(v2 B3-v3 B2)=(v× B)1
F2= q/c(v3 B1-v1 B3)=(v× B)2
F3=q/c(v1 B2-v2 B1)=(v× B)3

Queste 3 relazioni possono essere considerate come un sistema di 3 equazioni nelle incognite (B1,B2,B3).

Consideriamo il sistema in 2 casi:

-Il caso in cui F e v sono costanti e B è variabile e inoltre F e v sono ortogonali(tutte difficoltà che rendono indeterminato il sistema
-Il caso in cui v è la variabile indipendente e F la variabile dipendente mentre B rappresenta un fattore di proporzionalità[una costante].

Primo caso

Consideriamo del sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite (B1,B2,B3) la cui

q/c 0-v3 v2 F1
v3 0 v1 F2
-v2 v1 0 F3

È la matrice dei coefficienti è il vettore dei termini noti

Si verifica facilmente che il determinante della matrice dei coefficienti è identicamente nullo:infatti moltiplicando la prima riga per v1,la seconda per v2 e la terza per v3 e sommando si ottiene una riga di 0.
Perciò il sistema è compatibile solo se la stessa relazione sussiste tra i termini noti:v1F1+v2F2+v3F3=0 è questo è proprio l’espressione algebrica della ortogonalità tra v e F.
Pertanto le equazioni del sistema sono linearmente dipendenti e il sistema risulta indeterminato in accordo con l’osservazione empirica che occorrono più misure(almeno 2!) del vettore velocità con direzioni diverse che danno luogo a forze con direzioni diverse.


Secondo caso

Questa difficoltà(ma la difficoltà è che quando F e v sono costanti e ortogonali le equazioni sono linearmente dipendenti e quindi il sistema risulta indeterminato?) nasce dall’aver considerato le 3 equazioni del sistema come un sistema in cui la velocità e la forza sono costanti.
In realtà l’unica costante in queste relazioni è il campo magnetico!Le equazioni esprimono una relazione funzionale tra la variabile indipendente v e la variabile dipendente F.
Ciò viene evidenziato scrivendo la equazioni del sistema in forma matriciale

F1 0B3-B2 v1
F2=q/c-B30B1 * v2
F3 B2-B10 v3

Dove il prodotto a secondo membro come d’uso si intende eseguito righe per colonne.
Posta in questi termini la questione della determinazione di B risulta banale.

Il ragionamento è corretto?

Grazie mille Saluti Bruce

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