ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **EdmondDantes** » 28 ott 2018, 23:59

Ti piace vincere facile a mo' di teorema dei quattro colori :mrgreen:

da **PietroBaima** » 29 ott 2018, 0:00

eccerto

da **xyz** » 29 ott 2018, 15:42

Ho voluto implementare la formula per tenerla da parte per possibili usi futuri.

La formula usata è quella con il numero di Bernoulli e il coefficiente binomiale visto che è più compatta (presa da Wikipedia Sum_of_powers):

$\sum_{k=1}^{n}{k^{m}} = \frac{1}{m+1}\,{\sum_{k=0}^{m}{\left(-1\right)^{k}\,B_k\,{{m+1 }\choose{k}}\,n^{m-k+1}}}$

Con Maxima una possibile realizzazione è la seguente:

Codice: Seleziona tutto: sum_powers(n, m):=block([k], 1/(m+1)* sum(binomial(m+1,k) * (-1)^k*bern(k) * n^(m+1-k), k,0,m) );

Utilizzando il front-end grafico wxMaxima è possibile visualizzare i risultati per le prime sommatorie:

Codice: Seleziona tutto: table_form( makelist([sum(k^m, k, 1, n) ,"=", collectterms(expand(sum_powers(n,m)),n)], m,0,10) )$

Genera le seguenti eguaglianze:

$\sum_{k=1}^{n}{1} = n$

$\sum_{k=1}^{n}{k} = {{n^2}\over{2}}+{{n}\over{2 }}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^2} = {{n^3}\over{3}}+{{n^2 }\over{2}}+{{n}\over{6}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^3} = {{n^4}\over{4}}+{{n^3 }\over{2}}+{{n^2}\over{4}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^4} = {{n^5}\over{5}}+{{n^4 }\over{2}}+{{n^3}\over{3}}-{{n}\over{30}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^5} = {{n^6}\over{6}}+{{n^5 }\over{2}}+{{5\,n^4}\over{12}}-{{n^2}\over{12}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^6} = {{n^7}\over{7}}+{{n^6 }\over{2}}+{{n^5}\over{2}}-{{n^3}\over{6}}+{{n}\over{42}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^7} = {{n^8}\over{8}}+{{n^7 }\over{2}}+{{7\,n^6}\over{12}}-{{7\,n^4}\over{24}}+{{n^2}\over{12}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^8} = {{n^9}\over{9}}+{{n^8 }\over{2}}+{{2\,n^7}\over{3}}-{{7\,n^5}\over{15}}+{{2\,n^3}\over{9}} -{{n}\over{30}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^9} = {{n^{10}}\over{10}}+{{n^9 }\over{2}}+{{3\,n^8}\over{4}}-{{7\,n^6}\over{10}}+{{n^4}\over{2}}-{{ 3\,n^2}\over{20}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^{10}} = {{n^{11}}\over{11}}+{{ n^{10}}\over{2}} + {{5\,n^9}\over{6}} -n^7+n^5-{{n^3}\over{2}} + {{5\,n}\over{66}}$

Per sicurezza un controllo con quelle presenti su Wikipedia per le formule di Faulhaber, coincidono.

È possibile semplificare e raggruppare le formule in altri modi:

Codice: Seleziona tutto: table_form( makelist([sum(k^m, k, 1, n) ,"=", ratsimp(sum_powers(n,m))], m,0,10) )$ table_form( makelist([sum(k^m, k, 1, n) ,"=", factor(sum_powers(n,m))], m,0,10) )$

L'ultima con la fattorizzazione di tutte le frazioni:

$\sum_{k=1}^{n}{1} = n$

$\sum_{k=1}^{n}{k} = {{n\,\left(n+1\right) }\over{2}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^2} = {{n\,\left(n+1\right)\, \left(2\,n+1\right)}\over{6}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^3} = {{n^2\,\left(n+1\right)^2 }\over{4}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^4} = {{n\,\left(n+1\right)\, \left(2\,n+1\right)\,\left(3\,n^2+3\,n-1\right)}\over{30}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^5} = {{n^2\,\left(n+1\right)^2 \,\left(2\,n^2+2\,n-1\right)}\over{12}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^6} = {{n\,\left(n+1\right)\, \left(2\,n+1\right)\,\left(3\,n^4+6\,n^3-3\,n+1\right)}\over{42}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^7} = {{n^2\,\left(n+1\right)^2 \,\left(3\,n^4+6\,n^3-n^2-4\,n+2\right)}\over{24}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^8} = {{n\,\left(n+1\right)\, \left(2\,n+1\right)\,\left(5\,n^6+15\,n^5+5\,n^4-15\,n^3-n^2+9\,n-3 \right)}\over{90}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^9} = {{n^2\,\left(n+1\right)^2 \,\left(n^2+n-1\right)\,\left(2\,n^4+4\,n^3-n^2-3\,n+3\right)}\over{ 20}}$

$\sum_{k=1}^{n}{k^{10}} = {{n\,\left(n+1\right) \,\left(2\,n+1\right)\,\left(n^2+n-1\right)\,\left(3\,n^6+9\,n^5+2\, n^4-11\,n^3+3\,n^2+10\,n-5\right)}\over{66}}$

Ho anche convertito la formula per SymPy con la relativa stampa:

Codice: Seleziona tutto: from sympy import * init_printing(use_unicode=True) (n, k) = symbols('n k', integer=True) class sum_powers(Function): nargs = 2 @classmethod def eval(cls, n, m): return 1/(1+m) * \ summation(binomial(m+1,k) * \ Pow(-1, k) * bernoulli(k) * Pow(n, m+1-k), \ (k, 0, m)) for m in range(11): pprint(Eq(Sum(Pow(k, m), (k, 1, n)), collect(sum_powers(n, m), n), evaluate=False)) pprint(Eq(Sum(Pow(k, m), (k, 1, n)), radsimp(sum_powers(n, m)), evaluate=False)) pprint(Eq(Sum(Pow(k, m), (k, 1, n)), factor(sum_powers(n, m)), evaluate=False))

Se uno guarda la sequenza dei denominatori nelle ultime formule:

1, 2, 6, 4, 30, 12, 42, 24, 90, 20, 66, ...

sembrano numeri a caso ma in realtà è una sequenza identificata presso OEIS A064538.

da **PietroBaima** » 29 ott 2018, 15:59

Bravo, ottimo lavoro! :ok:

da **EdmondDantes** » 29 ott 2018, 21:44

Cercando altre informazioni relative a questo post, ho letto una curiosità.
In una delle pubblicazioni di Bernoulli, precisamente nella Summae Potestatum del 1713, e' presente un errore nel coefficiente del monomio di secondo grado del polinomio di decimo grado. Esso vale $-\frac{3}{20}$ e non $-\frac{1}{12}$ .
Chissa cosa avra' pensato... quando se ne rese conto...

da **quartz1317** » 2 nov 2018, 23:12

Mi scuso per la mia assenza, comunque ci tenevo a ringraziare tutti per essere stati cosi gentili ad aiutarmi nel mio esercizio e a espandere il mio post in questo modo. Grazie a tutti

da **PietroBaima** » 2 nov 2018, 23:58

quartz1317 ha scritto:Mi scuso per la mia assenza, comunque ci tenevo a ringraziare tutti per essere stati cosi gentili ad aiutarmi nel mio esercizio e a espandere il mio post in questo modo. Grazie a tutti

Prego, se vuoi fare un po’ di esercizio su queste cose puoi, come prima cosa, imparare ad osservare le formule che abbiamo scritto.
Fare osservazioni è importante.

Per esempio...

La formula che cercavi tu era

$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$

Mentre un’altra formula che abbiamo scritto recita:

$\sum_{k=1}^n k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

Quindi questo significa che

$\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\sum_{k=1}^n k^3$

Che personalmente trovo divertente:

(1+2)^2=1^3+2^3

Poi se vuoi puoi cercare su internet chi lo ha scoperto, dove è applicato, quali altre cose nasconde...

Una formula come questa è bella, è come vedere un bel quadro, si passano momenti piacevoli a scrivere queste cose su di un foglio

Ciao,
Pietro.

PS: o almeno, io da piccolo andavo matto per queste cose, le reputavo entusiasmanti.

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