Local reduction of a smooth mapping to canonical form

[Ianero]

Ragazzi, chiedo gentilmente a qualcuno di voi che ha a disposizione il testo Zorich, Mathematical analysis I (ed.1), se può darmi un riscontro su quanto scritto in sec. 8.6, p. 506 (local reduction of a smooth mapping to canonical form, rank theorem):

Secondo me la funzione lì definita è funzione delle variabili e non delle variabili .
Se effettivamente è un errore del libro, questo invalida la sua dimostrazione. Ovviamente è più probabile che sbagli io, ma non vedo dove purtroppo.

[Ianero]

Sarebbe molto d’aiuto anche se qualcuno avesse solo un altro riferimento dove poter studiare la stessa cosa. In rete non riesco a trovare nulla riguardo questo teorema.

[Ianero]

Trovato stesso problema qui: https://folk.uib.no/nmabd/dt/dt130107.pdf a pagina 78, dove fa questo:

sembra che faccia finta che e siano intercambiabili.
A me invece continua a venir da pensare che ha come dominio un insieme che non deve essere per forza il dominio della funzione .

[Ianero]

Per chi potesse essere interessato, la soluzione a questo problema si trova leggendo con attenzione le prime k righe della formula (8.122), pag. 505, sec.8.6 del solito libro in [1].