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da **Ianero** » 8 feb 2020, 11:33

Sto studiando il Local Limit Theorem sul libro 'Probability' di A.N.Shiryayev, casa Springer, il quale viene enunciato (e dimostrato) così:

Dato 0<p<1

, allora $P\left(S_n=k \right)\sim \frac{e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}} {\sqrt{2\pi npq}}$ quando

tale che $|k-np|=o(npq)^{2/3}$ in $n\to\infty$

con significato standard della notazione ( S_n

variabile aleatoria che conta il numero di successi su n prove ripetute, dove la singola probabilità di successo è p=1-q

).
Al di là della dimostrazione, l'enunciato significa che esiste un certo $N\in\mathbb{N}$ , oltre il quale posso scrivere che:

$\bigg(|k-np|=\alpha(n) (npq)^{2/3}\bigg)\Rightarrow \bigg(P\left(S_n=k \right)= \frac{e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}} {\sqrt{2\pi npq}}\gamma(n)\bigg)$

con $\alpha(n)$ e $\gamma(n)$ due opportune funzioni di n con questa proprietà:

$\lim_{n\to\infty}\alpha(n)=0$

$\lim_{n\to\infty}\gamma(n)=1.$

Ma allora questo significa che l'uguaglianza in questione vale anche per i casi un po' più 'estremi' in cui la $\alpha(n)$ è tale che: $\alpha(n) (npq)^{2/3}$ per $n\to\infty$ diverga.
Ma allora ancora, vuol dire che non è detto che k debba sempre per forza essere 'vicino' a np, per usare quell'approssimazione.

E' corretto quello che ho detto?

PS: non sapevo come tradurre in italiano il titolo del post.