Wolfram Alpha sbaglia?

[PietroBaima]

Perché, in questo tuo ultimo esempio, gli hai chiesto di risolverti quella equazione, per la quale lui ti da tutte le soluzioni che trova, reali e complesse.
Quando invece gli chiedi un risultato di una funzione polidroma lui non può darti tutti i rami delle soluzioni, per cui, dato che tu non gli hai detto quale ramo vuoi, assume che tu voglia il ramo principale, che in questo caso è complesso. (Vedrai, dalla tua prima immagine, che ti segnala “Assuming the principal root”)

Prova a guardare la guida di questo comando: Assuming

[sebago]

Ho provato a capirci qualcosa e mi sono imbattuto in questo:

Alla fine ho capito: NON E' ROBA PER ME, sono troppo anziano.
Grazie lo stesso.

[PietroBaima]

Scusami, non capisco cosa non capisci.

[sebago]

Scusami, non capisco cosa non capisci.

Perdona, Pietro, purtroppo sono testardo (e ignorantazzo, a quanto pare). Ho scritto LA STESSA EQUAZIONE DI TERZO GRADO e mi ritrovo...SEI soluzioni diverse. Io ero fermo a un teorema (credo che si chiamasse "teorema fondamentale dell'algebra", ma potrei sbagliarmi) che se non ricordo male diceva che, in C, un'equazione algebrica ha un numero di soluzioni pari al grado dell'equazione.
Ora, i casi sono due: o ricordo male il teorema, oppure quella non è un'equazione algebrica.
C'è anche una terza ipotesi: mi sono perso un bel pezzo di matematica (non che allarghi più di tanto la voragine della mia ignoranza, ma...).

[PietroBaima]

Perdona, Pietro, purtroppo sono testardo (e ignorantazzo, a quanto pare). Ho scritto LA STESSA EQUAZIONE DI TERZO GRADO e mi ritrovo...SEI soluzioni diverse.

Adesso ho capito.
Non sei affatto testardo e ignorante, semplicemente sono io che devo ammettere che non riesco a rendermi conto delle difficoltà che si possono incontrare quando si risolve un problema.
Ho dato questa cosa così tanto per scontata che non mi sono posto nemmeno il problema.

Io ero fermo a un teorema (credo che si chiamasse "teorema fondamentale dell'algebra", ma potrei sbagliarmi) che se non ricordo male diceva che, in C, un'equazione algebrica ha un numero di soluzioni pari al grado dell'equazione.
Ora, i casi sono due: o ricordo male il teorema, oppure quella non è un'equazione algebrica.

In campo complesso una equazione ha sempre un numero di soluzioni pari al suo grado. Si chiama teorema fondamentale dell'algebra. Ti ricordi bene e quella è una equazione algebrica.

Dove sta l'inghippo?
Bisognerebbe fare seriamente un bel post sulle funzioni polidrome e sulle superfici di Riemann.
Comunque posso dirti questo:
Se risolvi su WolframAlpha (qui) , vedrai che il solutore ti restituisce tre soluzioni. Una reale e due complesse. Stop.
Non fa null'altro che risolvere l'equazione algebrica di terzo grado e trova tre soluzioni.
Non hai la possibilità di scegliere rami principali o secondari perché semplicemente non ci sono.
Il problema è ben posto.

Se invece gli chiedi di risolvere l'equazione scrivendo quell'otto con tutte quelle radici (che in campo complesso hanno poco senso perché non esiste una vera e propria operazione chiamata "radice") succede che WolframAlpha scopre che quelle radici hanno una soluzione reale (2^3) e tante altre in altri rami.
Quindi WolframAlpha, dato che non gli hai detto niente, assume che la soluzione di quella radice sia il valore principale e risolve l'equazione, trovando tre soluzioni.
Poi ti rende disponibile il pulsantino per risolvere nuovamente l'equazione considerando il ramo in cui esiste la soluzione reale, se clicchi lì, a questo punto viene risolta l'equazione con quel nuovo assunto e si trovano quindi tre soluzioni (diverse da quelle precedenti perché la radice ha un valore diverso da quello di prima).

Spero di spiegarmi, ma se non l'ho fatto chiedimi pure senza problemi.

Questi sono i motivi per cui non bisognerebbe scrivere l'unità immaginaria come la radice quadrata di meno uno.
Essendo corretti, in campo complesso, i (o j) indicano l'unità immaginaria, mentre la radice quadrata di meno uno non ha proprio senso perché darebbe origine ad una funzione polidroma.

[sebago]

Intuisco (ma non è che sia gran cosa) che la faccenda dei "rami" sia connessa alle funzioni polidrome. E immagino che la complicazione si gonfi a dismisura. A pensarci seriamente, avrei anche più di qualche difficoltà a definire queste ultime, soprattutto in C.
Ho paura che questi "rami" portino con se qualche oscuro "tronco". Soprattutto se rileggo che:

Poi ti rende disponibile il pulsantino per risolvere nuovamente l'equazione considerando il ramo in cui esiste la soluzione reale, se clicchi lì, a questo punto viene risolta l'equazione con quel nuovo assunto e si trovano quindi tre soluzioni

: ne deduco che il "ramo" (qualunque cosa esso sia) in cui esiste la soluzione reale parrebbe una ramo "particolare/preferenziale", e contiene ANCHE soluzioni complesse. Ma a quanto pare esiste anche un altro ramo in cui la soluzione preferenziale è quella complessa (ancora: qualunque cosa questo voglia dire), e contiene ALTRE soluzioni complesse DIVERSE DA QUELLE DI PRIMA (E NESSUNA REALE).
Ma non è che, in questa giungla, ci sono anche altri rami? Quando hai parlato di "superfici di Riemann" e di "tante altre in altri rami" HO SENTITO UN BRIVIDO LUNGO LA SCHIENA...
Grazie comunque per la cortesia.