Orientabilità di superfici

[Ianero]

Vorrei riuscire a dimostrare che: se una (n-1)-superficie di classe è orientabile ha un campo continuo di vettori normali ad essa.
Di seguito faccio vedere dove sono arrivato io e dove mi fermo.

è una superficie di classe , quindi per ogni suo punto esiste lo spazio ad essa tangente in tale punto, . Una base per ognuno di questi spazi può essere trovata prendendo le colonne della Jacobiana in di una qualunque carta che contenga nel suo dominio d'azione. Data la base, di conseguenza, si possono trovare le due normali a in , cioè gli unici due vettori a norma unitaria che sono ortogonali a tutti i vettori della base prima trovata. Tra queste due normali se ne può scegliere una utilizzando il seguente criterio: la base di formata dagli (n-1) vettori della base di prima trovata e dalla normale, deve essere orientata come la base canonica di . Resta a questo punto solo da far vedere che la normale così selezionata, punto per punto su , varia con continuità. Devo cioè far vedere che:



Una cosa positiva è che, grazie al fatto che ci interessa il valore al limite, possiamo dimenticarci che sia descritta da più carte e considerare una carta qualsiasi , fissata, che contenga nel suo dominio d'azione.
Sento che in qualche modo devo legare il fatto che e sono -vicine (in una qualsiasi norma matriciale) per poter concludere che le normali e sono -vicine, ma non riesco a formalizzare questo argomento.

Qualcuno sa aiutarmi, per favore?

[Ianero]

Ho tentato la seguente dimostrazione, ma credo ci sia ancora qualcosa che non va perché si può applicare passo dopo passo, mi sembra, anche al nastro di Mobius. Se a qualcuno va di leggerla lo ringrazio.

è una superficie , per cui per ogni suo punto esiste lo spazio tangente, , di dimensione . Poiché il complemento ortogonale di in ha dimensione 1, possiamo trovare le due normali a , cioè gli unici due vettori a norma unitaria che sono ortogonali a tutti i vettori della base di . Tra queste due, se ne può selezionare una con il seguente criterio: la base di formata dagli n-1 vettori della base di prima trovata e dalla normale, deve essere orientata come la base canonica di . Tale normale può essere trovata operativamente come:



dove sono le colonne della Jacobiana in di una qualunque carta contenente nel suo dominio d'azione (sono una base di ).
Occorre quindi far vedere che è tale che:

1. è orientato come ;
2. la formula sopra per fornisce sempre lo stesso vettore anche se si utilizza un'altra carta dell'atlante di (che copre ), ovvero in altre parole un diverso insieme ;
3. è continua .

Il primo punto segue da:



dove il determinante è stato sviluppato lungo l'ultima colonna (la normale) e i vari sono i cofattori dello sviluppo di Laplace (che sono proprio le componenti stesse di , per come era stata definita).
poiché le normali possibili di sono solo due, anche cambiando carta per definire , dal punto 1 si otterrebbe sempre l'unica in grado di orientare come , dunque anche il punto 2 è provato.
Infine, la continuità può essere inferita prendendo una qualunque carta che copra (grazie al punto 2 e grazie al fatto che la continuità è una proprietà locale) e notando che le singole componenti dei vari sono continue, essendo la carta di classe , e che e sono anch'esse funzioni continue.

[Ianero]

Ho capito, lo scrivo qui sotto invece di cancellare tutto il thread, ormai c'è scritta tanta roba e magari potrebbe essere utile a qualcuno che passerà di qui in futuro.

In breve, la normale come l'avevo definita io andava bene, ma se i due frame dati da due carte diverse erano orientati diversamente, affinché fosse sempre orientato come la base canonica di , accadeva che la normale 'si girava' per garantire questa cosa. Inserendo l'ipotesi di consistenza delle carte questo caso non può capitare più.

Perdonate la discussione unipersonale