ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 13 mag 2021, 18:50

Buongiorno,
mi trovo di fronte al calcolo della funzione di autocorrelazione del seguente segnale:

$s_0(t) = A_0\cos(2\pi f_0 t+\phi(t))$

che mi viene detto essere:

$R_0(t) = \frac{A_0^2}{2}\Re \{e^{j2\pi f_0 t} \cdot M_\tau \{e^{j[\phi(\tau+t)-\phi(\tau)]}\} \}$

dove

è l'unità immaginaria e $M_\tau\{...\}$ è l'operatore di media rispetto a $\tau$ .

Ho provato io a fare il conto, e mi viene invece:

$R_0(t) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} s_0(\tau) s_0(t+\tau) d\tau =$
$=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} A_0^2\cos(2\pi f_0 \tau+\phi(\tau))\cos(2\pi f_0 (t+\tau)+\phi(t+\tau)) d\tau =$
$=\frac{A_0^2}{2}\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \cos(2\pi f_0 (t+2\tau)+\phi(t+\tau)+\phi(\tau))+\cos(2\pi f_0 t+\phi(t+\tau)-\phi(\tau)) d\tau =$
$=\frac{A_0^2}{2}\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \Re\{ e^{j[2\pi f_0 (t+2\tau)+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}+e^{j[2\pi f_0 t+\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]}\} d\tau =$
$=\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}+e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]} d\tau \right\}=$
$=\frac{A_0^2}{2}\Re\left\{ e^{j 2\pi f_0 t} \left[ M_\tau\left\{ e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}\right\} +M_\tau\left\{ e^{j[\phi(t+\tau)-\phi(\tau)]}\right\} \right]\right\}$

C'è qualche motivo che non vedo per cui il termine $M_\tau\left\{ e^{j[4\pi f_0\tau+\phi(t+\tau)+\phi(\tau)]}\right\}$ debba annullarsi?

da **GioArca67** » 13 mag 2021, 19:46

qual è il valor medio di un coseno?

da **Ianero** » 13 mag 2021, 22:07

Intuitivamente ho capito quello che dici, ma lì $\phi(\tau)$ in principio può essere qualsiasi cosa.
Vorrei trovare un modo di vederlo matematicamente.

da **GioArca67** » 13 mag 2021, 22:13

Da quando il valor medio di un coseno cambia con la fase iniziale?

Stiamo su "Scherzi a parte" e non me ne ero accorto...

O_/

da **Ianero** » 13 mag 2021, 22:20

Al di là della presa in giro, sei in grado di impostare una dimostrazione o no?
Quella non è una $\phi_0$ qualsiasi, ma è $\phi(\tau)$ , basta pensare a una eventuale $\phi(\tau) = -4\pi (f_0/2) \tau$ per renderti conto che quello che dici è falso.

da **brabus** » 18 mag 2021, 10:50

GioArca67 ha scritto:Da quando il valor medio di un coseno cambia con la fase iniziale?

Stiamo su "Scherzi a parte" e non me ne ero accorto...

Moderare i toni, per cortesia.
Siamo tutti qui per imparare e aiutarci a vicenda. Ianero ha descritto il suo problema con dovizia di dettaglio e tutto merita tranne risposte sarcastiche.

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Calcolo di una funzione di autocorrelazione

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