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da **fairyvilje** » 13 giu 2016, 12:31

Ci sono una serie di esercizi per i quali non dispongo delle soluzioni. Se qualcuno volesse buttare un occhio sul procedimento per darmi conferma o fustigarmi ne sarei molto felice :mrgreen:

.

Esercizio 1. Si consideri per r>0

la legge $\mu_r$ concentrata su $(0,+\infty)$ in cui la densità è data da
$\frac{1}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-x}$ ,
ove la funzione $\Gamma:(0,+\infty)\mapsto(0,+\infty)$ è definita da $\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}\mathrm{d} x$ .

Se ha legge $\mu_r$ , si calcolino i valori attesi di $X^\beta$ per $\beta>0$ e la varianza di X;
Si determini anche approssimativamente un intero tale che $\frac{3}{2}\leq \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\leq \frac{5}{2}$ con probabilità superiore al 95% nel caso in cui $(X_1, \cdots, X_n)$ siano indipendenti e con legge $\mu_2$

Si tratta di una classica distribuzione gamma. Non avendole molto usate e non ricordando a memoria media e varianza (considerando che vengono chiesti anche i momenti di ordine superiore) procedo ad un calcolo manuale. Si può aggredire l'integrale per parti e poi cercando la ricorsione, o usando le trasformate di Laplace e valutandole in $0^{+}$ . Uso la seconda strada. Sono gradini polinomiali moltiplicati per un modo esponenziale. $\frac{(r-1)!}{(s+1)^r}, s=0$ mi risulta (r-1)!

.
A questo punto $E[X^\beta]=\int_{0}^{\infty}(r-1)!x^{r+\beta-1}e^{-x}\mathrm{d} x$ . Come prima passo alle traformate di Laplace e trovo che $E\left[X^\beta\right]=\frac{(r+\beta-1)}{r-1}=(r+\beta-1)^{\underline{\beta}}$ . La varianza si calcola come E[X^2]-E[X]^2

. Portandosi dietro un po' di fattoriali risulta

e lo stesso per la media.

A questo punto posso andare su (b). Uso la legge debole dei grandi numeri: $P\left[\left |\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-2\right |\geq \frac{1}{2}\right]\leq \frac{2^2}{n{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$ . Quindi n>16.84

. Prendere n=17

dovrebbe bastare.
In realtà visto come era posto il problema bastava sin da subito dire

un googol ed ero abbastanza certo che fosse giusto. :mrgreen:

da **fairyvilje** » 13 giu 2016, 15:27

Esercizio 2. Sia $f:(0,1)\mapsto \mathbb{R}$ continua, derivabile a destra in (0,1)

con $f^{'}_{+}(t)\geq 0$ per ogni $t\in (0,1)$ . Si mostri che

è non decrescente. Vale la stessa tesi senza l'ipotesi di continuità?

Una funzione continua sotto queste condizioni significa che $\lim_{x->x_0}f(x_0)=f(x_0)$ $\forall x_0 \in (0,1)$ e che esiste il limite $\lim_{h->0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $\forall x \in (0,1)$ che appunto viene chiamato derivata destra. Affinché questa quantità sia positiva, $f(x+h)-f(x)\geq 0$ e quindi $f(x+h)\geq f(x)$ . Essendo valido per ogni

, la funzione non può essere decrescente.
Eliminando l'ipotesi di continuità, l'esistenza della derivata destra implica comunque la continuità a destra. Si ricade quindi comunque nel caso precedente.

da **alev** » 13 giu 2016, 17:31

fairyvilje ha scritto:Vale la stessa tesi senza l'ipotesi di continuità?

Se questo è il tuo dubbio, credo che la precisazione nasca dalla definizione

derivabile a destra in con $f^{'}_{+}(t)\geq 0$ per ogni $t\in (0,1)$

Infatti, esiste il teorema della continuità delle funzioni derivabili in un punto, ma siccome nel testo si parla di derivabilità destra, allora si è preferito precisare

da **fairyvilje** » 13 giu 2016, 17:39

No era solo la domanda del quesito :) Quella che segue era la risposta che ho dato all'esercizio.

da **alev** » 13 giu 2016, 18:30

Pero' non mi convince una cosa

Ho immaginato una siffatta curva

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

E' derivabile a destra nell'intervallo (0,1)

, ma in $x = \frac{1}{2}$ non è continua

da **fairyvilje** » 13 giu 2016, 18:36

Non è derivabile a destra. La derivata destra non assume valore in $\mathbb{R}$ per tutti i punti nell'intervallo :)
In particolare non esiste la derivata destra in $x=\frac{1}{2}$ .

da **alev** » 13 giu 2016, 18:38

In quale punto non è derivabile a destra?

da **fairyvilje** » 13 giu 2016, 19:01

Non è definita la derivata destra in $x=\frac{1}{2}$ .

da **alev** » 13 giu 2016, 19:16

Nell'asintoto, il valore della derivata sarà $\infty$ ma esiste

EDIT: domani posto l'equazione e verifico

da **fairyvilje** » 13 giu 2016, 19:22

La derivata deve assumere valori in $\mathbb{R}$ . Infinito non appartiene ad $\mathbb{R}$ quindi tecnicamente la derivata non esiste ma solo il suo limite. Il limite della derivata in $x=\frac{1}{2}$ è appunto $+\infty$

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