Wolfram Alpha sbaglia?

[sebago]

cliccando in rete ho trovato questo:
https://www.youtube.com/watch?v=5pa1AryylpM

[sebago]

no entiendo:

[fairyvilje]

Wolfram alpha è corretto, bisogna semplicemente capire quale è il dominio nel quale ci interessa trovare soluzioni. Se vuoi quella reale è 2, l'altra soluzione che mostra è la "principale".

[EdmondDantes]

Wolfram non sbaglia, utilizzandolo bene.
Anzi, non sbaglia mai . Lui esegue i comandi impartiti.

Un tipico problema da affrontare durante i corsi di calcolo numerico e programmazione e' il calcolo degli zeri di una equazione di secondo grado.
La ben nota formula di risoluzione e' sempre valida, ma implementandola in maniera bovina, per particolari valori dei coefficienti, il programma potrebbe visualizzare due radici reali e coincidenti anche se in realtà l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte (problema di cancellazione numerica al numeratore della frazione).

[sebago]

Se vuoi quella reale è 2, l'altra soluzione che mostra è la "principale".

Scusa la (crassa) ignoranza, ma perché non le mostra tutte in una volta? E che significa "principale"?
Se ci sono tre soluzioni (una reale e due complesse conìugate), per quale motivo non mostrarle assieme, come fa per altri casi?

[fairyvilje]

Funzioni che sembrano comportarsi in modo ok nei reali possono dare luogo a comportamenti diversi se estese nei complessi. Quello che succede è che nella loro estensione, funzioni che sono a valore singolo diventano a valore multiplo, ovvero la soluzione non è unica ma consiste in un numero finito od infinito di soluzioni. La funzione viene dunque "decomposta" in quelli che vengono chiamati rami ed il ramo che viene convenzionalmente considerato come principale è poi quello che ospita la soluzione principale. Potenzialmente a partire da questa è possibile esprimere una varietà infinita di altre soluzioni.
In realtà questo non è vero sono nell'analisi complessa, solo che qui diventa particolarmente importante. Possiamo osservare lo stesso problema anche nei reali. La radice quadrata di un numero positivo per esempio ha due possibili soluzioni, ma ci si restringe solo a quella positiva che diventa la principale. (-2 e 2 alla seconda sono entrambi 4 per intenderci, quindi l'inversa va ristretta ad un ramo, quello positivo o quello negativo per essere una funzione in senso proprio).

https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_value

[EdmondDantes]

Tutto questo accade in quanto, da default, il programma lavora nel campo complesso?
Comunque in rete si trovano altri esempi atti a stressare le funzioni del software, le quali trovano soluzioni complesse dove non esistono.

[fairyvilje]

Si di base lavora su campo complesso a meno di non richiedere esplicitamente di restringere il dominio ai reali. Non conosco abbastanza di Wolfram Mathematica e quindi di Wolfram Alpha, che da quanto capisco rappresenta in buona parte una sua interfaccia web semplificata eseguita su cloud. Dovresti chiedere a PietroBaima per avere una risposta più autorevole.

Per quanto riguarda i casi falliti non ne sono troppo sicuro. Salvo bug, la maggior parte dei passaggi sono di natura simbolica che quindi non permettono perdita di precisione visto che si tratta di manipolazione di grafi ed alberi :). Sicuramente si possono avere problemi di stabilità numerica e perdita di precisione nei risultati, ma anche qui immagino ci siano bignumers o numeri a precisione variabile supportati.
Nella mia esperienza quelli che vengono normalmente visti come "errori" sono solo il risultato di diverse convenzioni seguite da wolfram alpha e chi sta facendo i conti manualmente. Quindi un problema di "linguaggio" non nei risultati.
Anzi, testando potenziali errori negli integrali (non so se di questo programma nello specifico) si sono scoperti fenomeni molto interessenti che sembrano errori numerici ma non lo sono:
https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral

[PietroBaima]

Si di base lavora su campo complesso a meno di non richiedere esplicitamente di restringere il dominio ai reali.

E’ l’assunto che Mathematica fa di default: se non diversamente specificato tutte le variabili delle formule sono complesse e tutte le soluzioni sono da cercare in campo complesso.

Non conosco abbastanza di Wolfram Mathematica e quindi di Wolfram Alpha, che da quanto capisco rappresenta in buona parte una sua interfaccia web semplificata eseguita su cloud.

Lo è, in pratica Wolfram Alpha è un sito pubblicitario per Mathematica, dove tirano su anche un po’ di grana dagli abbonamenti ad Alpha plus. Con questo non voglio dire che sia una cosa brutta o inutile, ma che, come ogni cosa, vada presa per quello che è.

Dovresti chiedere a PietroBaima per avere una risposta più autorevole.

No, non fidatevi mai di quello che dico, controllatelo sempre. Non sono affatto autorevole.

Per quanto riguarda i casi falliti non ne sono troppo sicuro. Salvo bug, la maggior parte dei passaggi sono di natura simbolica che quindi non permettono perdita di precisione visto che si tratta di manipolazione di grafi ed alberi :). Sicuramente si possono avere problemi di stabilità numerica e perdita di precisione nei risultati, ma anche qui immagino ci siano bignumers o numeri a precisione variabile supportati.
Nella mia esperienza quelli che vengono normalmente visti come "errori" sono solo il risultato di diverse convenzioni seguite da wolfram alpha e chi sta facendo i conti manualmente. Quindi un problema di "linguaggio" non nei risultati.
Anzi, testando potenziali errori negli integrali (non so se di questo programma nello specifico) si sono scoperti fenomeni molto interessenti che sembrano errori numerici ma non lo sono:
https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral

Concordo al 120%.

Per quanto riguarda invece il video, Wolfram Alpha non fa altro che restituire l’insieme di tutte le soluzioni, a meno di non premere il tastino (si vede nelle foto che ha postato sebago) “Use the real valued root instead”. Questo è già stato discusso bene nei post precedenti.
Ci sarebbe molto da dire sull’esistenza delle radici cubiche in campo complesso, ma vi risparmio uno sproloquio di un’ora sulle funzioni polidrome.

Non mi piace neanche un po’ come viene attaccato il problema dal ragazzo del video.
Si riconduce ad una equazione di terzo grado, non commenta il fatto che le altre soluzioni sono complesse e non sono le soluzioni del problema.
Chi lo dice che la soluzione sia 2 e non lo siano anche le altre complesse? Se l’equazione avesse avuto due o tre soluzioni reali? Quale andava bene e quale no e perché?
Sono domande che devono avere risposta per poter dire di aver risolto il problema.
Non si affronta un problema in quel modo.

Quando si hanno delle radici che danno fastidio, questo in genere succede perché la soluzione è una “fusione” delle due radici fra di loro.
Per poter unire una somma di radici si deve vedere il loro argomento come una potenza.
In pratica devo riuscire a vedere



Ragioniamo


Supponiamo che B sia il termine che include la radice quadrata. B diventa un numero intero solo quando è elevato al quadrato, quindi solo nel penultimo termine che è un triplo prodotto. Abbiamo poi A al cubo, che può essere un numero intero. Non altro.
7 è quello che otteniamo quindi da , che non ha fra i suoi fattori 3, per cui 7 deve essere il risultato di 6+1, cioè 3*2+1, che significa che


Quindi



Ovviamente, per le stesse ragioni



Quindi la somma delle loro radici cubiche fa 2.

[sebago]

Mon Dieu, non intendevo scatenare dibattiti di così elevata altura, mi chiedevo più semplicemente perché Wolfram Alpha non mette insieme tutte le radici, come del resto fa per altri casi: