Perche` s = jw?

[clavicordo]

Tento anch'io di chiarire, a costo di essere troppo elementare...
Un sistema lineare si rappresenta come una scatola "nera" (non si vuole sapere cosa c'è dentro) fatta di 3 parti: INPUT- ELABORAZIONE-OUTPUT. Un modo per conoscere il suo comportamento è inviargli in input un segnale sinusoidale, di ampiezza A (che si mantiene fissa) e di frequenza f (che si fa variare con continuità da un minimo a un massimo), per poi misurare sia l'ampiezza sia il ritardo detto "sfasamento") in output al variare della frequenza. Si usano le funzioni seno e coseno. Occorre anche ricordare che in sen(x) l'argomento "x" è un angolo (detto "fase"), mentre a noi elettrici
interessa la frequenza. Come si fa a farla diventare un angolo? Basta osservare che la velocità angolare = angolo/tempo (radianti/s) e che frequenza = numero di angoli giri al secondo, quindi poiché un angolo giro è 2PI (2 pigreco) radianti, la frequenza = velocità angolare/2PI. Quindi angolo = vel. angolare X tempo = 2PI X frequenza X tempo. Si scriverà allora sen(2PI ft) o sen(wt), dove w è la velocità angolare.
Fin qui è tutto abbastanza semplice, facilmente immaginabile anche in pratica. Ma per fare le misure bisogna che il sistema esista e che sia stato progettato da qualcuno. Per progettarlo, purtroppo, l'unico mezzo che funziona è un (bel) po' di matematica, con l'uso dei numeri complessi...
perché servono i numeri complessi in elettrotecnica? In prima battuta, perché si vogliono tenere insieme ampiezza e sfasamento nella misura della risposta di un sistema. La chiave di volta di tutto è la formula di Eulero : e^(ix) = cos(x)+isen(x) , ossia l'esponenziale di un numero immaginario è un numero complesso le cui componenti (reale e immaginaria) sono le funzioni coseno e seno di quel numero, che tra loro sono sfasate di 90 gradi. Ricordando le proprietà delle potenze, si capisce come sia assai piu facile moltiplicare due esponenziali invece di due funzioni sinusoidali. "Dosando" poi seno e coseno si ottengono tutti gli sfasamenti intermedi. Noi elettrici preferiamo scrivere "j" invece che "i", dato che tradizionalmente "i" è la corrente (non si sa bene perché).
Le sinusoidi possono anche essere scritte usando gli esponenziali con jw (w sarebbe in realtà la "omega" greca). Applicare una sinusoide all'input e misurare la risposta dell'output, ossia ampiezza e sfasamento in funzione della trequenza, corrisponde a calcolare la trasformata di Fourier come "funzione di trasferimento" per quel sistema.
Ma nei sistemi interessa anche la stabilità: in genere non si vuole che applicando un segnale in input il sistema produca oscillazioni di ampiezza crescenti fino a spaccarsi! Ecco che allora entra in ballo la trasformata di Laplace come funzione di trasferimento. Si immagina di applicare non una semplice sinusoide ma una sinusoide che si smorza nel tempo, e di valutare come l'output varia di conseguenza: se esce una sinusoide anch'essa smorzata, il sistema è stabile. Ossia non si applica
solo e^(jwt) ma e^(kt)e^(jwt) = e^((k+jw)t) che è un esponenziale sinusoidale smorzato. Ponendo s =k+jw si può applicare in input e^(st). Naturalmente deve essere k<0 per avere l'esponenziale smorzato. La trasformata di Laplace contiene oltre alla frequenza anche lo smorzamento k (spesso indicato con la lettera greca "sigma") e quindi contiene la trasformata di Fourier come caso particolare: quando k= 0, s =jw.
Se si sa già che il sistema è stabile è quasi sempre sufficiente usare la trasformata di Fourier per l'analisi o la progettazione.[code][/code]

[RenzoDF]

invece che "i", dato che tradizionalmente "i" è la corrente (non si sa bene perché).

La scelta della lettera i per indicare l'intensita' della corrente elettrica è legata alla scelta iniziale di Ampère che, pur con alterne vicende, si e' consolidata ed affermata come scelta finale.