ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Pixy** » 10 mar 2013, 12:46

Intanto grazie davvero a tutti, Electroyou si dimostra veramente una comunità pari a poche

per PietroBaima
cercavo proprio qualcosa di simile, in modo da rendere il denominatore diverso da zero,semplificandolo con termini al nominatore come appunto la prima parte del secondo termine ma per me non era così semplice... :roll:

sicché ti ringrazio davvero.

PietroBaima ha scritto:

$\frac{1-\cos(h)}{4h}=\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\frac{\sin(\frac{h}{2})}{4}$

Quando h tende a zero, il primo pezzo del secondo membro tende ad 1 ma il secondo pezzo tende a zero, quindi si può scrivere che:

$\underset{h\rightarrow0}{\lim}\frac{1-\cos(h)}{4h}=0$

Pietro.

Per RenzoDF, questa uguaglianza,

RenzoDF ha scritto:
PietroBaima ha scritto:... ho paura che Pixy non abbia ancora queste nozioni.

In questo caso spero conosca la similitudine fra due triangoli rettangoli

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dalla quale

$\frac{1-\cos (h)}{h}=\frac{\frac{h}{2}}{1}$

mi sembra che sia approssimativamente la stessa esposta da carloc

carloc ha scritto::ok:
oppure anche si ricorda/sa che per $h\rightarrow 0$

$\cos h \sim 1-\frac{h^2}{2}$

e al volo

$\frac{1-\cos h}{4h}\sim\frac{1-1+h^2/2}{4h}=\frac{h}{8}\rightarrow 0$ per $h\rightarrow 0$

che si può applicare appunto quando l' arco di circonferenza è così piccolo da approssimarlo all' angolo stesso. Giusto !?

Per quanto riguarda l' Hopital, diciamo che ci darò un' occhiata, visto che mi sembra interessante per per risolvere le forme indeterminate

Insomma ci si poteva arrivare da diverse strade ( riconosco che la matematica è una cosa non così scontata e semplice ||O

da **DirtyDeeds** » 10 mar 2013, 21:12

Un altro modo ancora di vedere il rapporto

$(1)\qquad\qquad\frac{1-\cos h}{4h}$

è il seguente. Moltiplica numeratore e denominatore per $1+\cos h$ ; si ha

$\begin{align}\frac{1-\cos h}{4h} &= \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{4h(1+\cos h)} \\ &= \frac{1-\cos^2 h}{4h(1+\cos h)} \\ &= \frac{\sin^2 h}{4h(1+\cos h)} \\ &= \frac{\sin h}{h}\frac{\sin h}{4(1+\cos h)} \end{align}$

Per $h\rightarrow 0$ , $\sin h/h\rightarrow 1$ , $\sin h\rightarrow 0$ e $1+\cos h\rightarrow 2$ ; quindi il rapporto (1) tende a 0.

da **Pixy** » 11 mar 2013, 10:54

in effetti Dirty con un può di buona volontà qualcosa si poteva fare.
Diciamo che è l' esercizio che manca ...

comunque grazie ancora a tutti.
La prossima volta, in casi simili, comincio a "smanicchiare" sul denominatore per portarlo fuori da un eventuale forma impossibile :-)

da **PietroBaima** » 11 mar 2013, 12:35

Pixy ha scritto:cercavo proprio qualcosa di simile, in modo da rendere il denominatore diverso da zero,semplificandolo con termini al nominatore come appunto la prima parte del secondo termine ma per me non era così semplice...
sicché ti ringrazio davvero.

Prego, no c'è problema :-)

Pixy ha scritto: da un'eventuale forma impossibile

La forma è indeterminata, non impossibile. Se fosse impossibile sarebbe più semplice, perché significherebbe che la soluzione non c'è e quella sarebbe la soluzione. ;-)

In generale si ha una forma indeterminata quando si ha qualcosa che:

tende a infinito sommato a qualcosa che tende a meno infinito;
tende a zero moltiplicato per qualcosa che tende ad infinito;
tende a zero elevato per qualcosa che tende a zero;
tende a zero diviso qualcosa che tende zero;
tende a infinito diviso qualcosa che tende infinito;
tende ad uno elevato qualcosa che tende ad infinito.

e più in generale, quando si hanno due elementi che tendono a "combattere" per spostare il risultato verso di loro.

Mi spiego: se sommo +infinito con -infinito, il +infinito cercherà di far crescere il risultato finale, in -infinito cercherà di farlo descrescere. Il risultato finale potrebbe quindi essere +infinito, -infinito oppure un valore intermedio, risultato dal "combattimento" (potrebbe essere, per esempio, 0 3 1 4 1 5 o chissà cos'altro).
Se moltiplico qualcosa che tende a zero con qualcosa che tende ad infinito, lo zero tende a far azzerare il risultato finale, mentre l'infinito (più o meno che sia) tende a farlo crescere o descrescere.
Fai da solo gli altri casi.

In generale (ma non sono regole) i rimedi che ovviano a queste forme indeterminate sono (in ordine rispetto alla lista precedente)

cerca di unire la somma, applica formule trigonometriche (addi-sottrazione, prostaferesi,werner soprattutto), razionalizza, somma e sottrai qualcosa che ti permetta di scriverlo come una potenza;
proprietà dei logaritmi ed esponenziali, limiti notevoli sui logaritmi, formule di prostaferesi;
in questo caso i logaritmi sono una manna dal cielo, ricorda che $f(x)=\mathrm{e}^{\ln\left(f(x)\right)}$ poi applica le proprietà dei logaritmi;
limiti notevoli, formule trigonometriche, logaritmi ;
se ti fa comodo puoi trasformarlo in una forma indeterminata del tipo precedente facendo l'inverso degli inversi, perché, in genere, la zero su zero è più comoda da trattare che la infinito su infinito, per il resto vale quanto detto al punto precedente ;
limiti notevoli, logaritmi, ricordando, anche qui, che $f(x)=\mathrm{e}^{\ln\left(f(x)\right)}$ e poi applicando le proprietà dei logaritmi come al punto 3.

Quando poi saprai gli sviluppi in serie e De L'Hopital e avrai un discreto "vocabolario" di limiti notevoli ti accorgerai che il limite non è una operazione problematica e in genere è possibile effettuare il calcolo a mente senza farsi troppi problemi. Per arrivare a questo punto, però, serve passare dalla strada che stai percorrendo tu e fare tanto tanto esercizio.

Se hai bisogno di una mano...

Ciao,
Pietro.

da **Pixy** » 13 mar 2013, 17:34

PietroBaima ha scritto:
Se hai bisogno di una mano...

Ciao,
Pietro.

Grazie a tutti e senza dubbio se avrò altre incertezze approfitterò ancora :ok:

da **mapi** » 18 mar 2013, 0:43

Pixy ha scritto:Per quanto riguarda la derivata della funzione , hai ragione tu, mi ero scordate di moltiplicare la derivata di -cosx per il dividendo praticamente la derivata è questa

$D (\frac{1-cosx}{2})= \frac{2sinx}{2^{2}}= \frac{sinx}{2}$

Pixy non è necessario che tu ne faccia la derivata come un rapporto, è molto più facile così:
$D(\frac{1-cosx}{2})=D(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot cosx)=D(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\cdot D(cosx)=\frac{1}{2}senx$

Non è necessario fare tutti i passaggi che ho fatto io

ciao O_/

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