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da **Gost91** » 8 mag 2016, 15:43

stardust79 ha scritto:la FDT é il rapporto tra ingresso ed uscita di un sistema nella condizione di regime (Re=0). Come mai essa viene usata se i transitori (che secondo me non sono trascurabili) non vengono considerati?

Nel formalismo dello spazio di stato, un sistema dinamico LTI nel dominio del tempo è descritto da una quadrupla (A,B,C,D) [di matrici] caratteristica del sistema in esame, attraverso un sistema di EDO della forma

$\begin{cases} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx+Du \end{cases}$

o, analogamente, nel dominio della frequenza attraverso un sistema algebrico della forma

$\begin{cases} X=(s\mathbb{I}-A)^{-1}x_0+(s\mathbb{I}-A)^{-1}B U \\ Y=C(s\mathbb{I}-A)^{-1}x_0+[C(s\mathbb{I}-A)^{-1}B+D]U \end{cases}\qquad (1)$

dove x_0

è il vettore costante dello stato iniziale del sistema, ossia il vettore contenente le condizioni iniziali del sistema.

Si nota dal sistema (1) che l'uscita

del sistema, detta risposta completa, è data dalla sovrapposizione di di due termini, la risposta libera (la quale dipende unicamente da x_0

) e la risposta forzata (la quale dipende unicamente dall'ingresso

).

Bene, la FDT del sistema è definita come il rapporto tra uscita e ingresso nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle, ossia

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\bigg|_{x_0=0}=C(s\mathbb{I}-A)^{-1}B+D$

questo significa che nella FDT c'è l'informazione sul transitorio, però solo dalla parte della risposta forzata.

Se poi proprio si vuole studiare anche la parte transitoria dovuta alle condizioni iniziali, si deve tener conto anche dell'altro termine di risposta libera.

MarcoD ha scritto:Non mi pare, nel caso generale la FDT è il rapporto fra U e I nel caso di variabili nel piano complesso S.
Nel caso particolare di S limitata all'asse complesso jw coincide con la FDT rilevata in condizioni sinusoidali a regime.

Confermo. I termini di FDT e risposta in frequenza non sono sinonimi.

Come già detto, la risposta in frequenza è la restrizione all'asse immaginario della FDT (invece definita, a meno di singolarità, su tutto il piano complesso), e caratterizza la risposta forzata e a regime (ora sì, si parla di regime) del sistema quando il suo ingresso è sinusoidale. Questo tipo di risposta è detta risposta armonica.

Quando si studiano sistemi stabili è sufficiente studiarne la risposta armonica (quindi trascurando il transitorio) in quanto, per definizione di sistema stabile, lo stato tende naturalmente a zero. Viceversa, quando un sistema è instabile si deve tener conto del transitorio, in quanto potrebbe scoppiare all'infinito (e rendere il sistema pericoloso per cose o persone!). Per questi sistemi è necessario progettare un secondo sistema dinamico che ne corregga la risposta completa, ossia un sistema di controllo stabilizzante.

da **stardust79** » 8 mag 2016, 18:54

Gost91 ha scritto:Si nota dal sistema (1) che l'uscita del sistema, detta risposta completa, è data dalla sovrapposizione di di due termini, la risposta libera (la quale dipende unicamente da ) e la risposta forzata (la quale dipende unicamente dall'ingresso ).

Bene, la FDT del sistema è definita come il rapporto tra uscita e ingresso nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle, ossia

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\bigg|_{x_0=0}=C(s\mathbb{I}-A)^{-1}B+D$

questo significa che nella FDT c'è l'informazione sul transitorio, però solo dalla parte della risposta forzata.

Grazie mille della risposta. Tale suddivisione (libera + forzata) non ha nulla a che vedere con la suddivisone della soluzione di una equazione differenziale lineare del secondo ordine ovvero (soluzione omogenea associata + soluzione particolare ) ? C'é qualcosa che suona simile ma non dovrebbero avere nulla a che fare giusto?

In matlab in simulink comunque é possibile aggiungere le condizioni iniziali diverse da zero.

Gost91 ha scritto:Quando si studiano sistemi stabili è sufficiente studiarne la risposta armonica (quindi trascurando il transitorio) in quanto, per definizione di sistema stabile, lo stato tende naturalmente a zero. Viceversa, quando un sistema è instabile si deve tener conto del transitorio, in quanto potrebbe scoppiare all'infinito (e rendere il sistema pericoloso per cose o persone!). Per questi sistemi è necessario progettare un secondo sistema dinamico che ne corregga la risposta completa, ossia un sistema di controllo stabilizzante.

piu' che di stabilità, i miei dubbi sono arrivati riflettendo sulle prestazioni dinamiche del sistema e ragionando sui limiti che puo' avere la trattazione con la trasformata di Laplace.

da **Gost91** » 10 mag 2016, 23:39

Tale suddivisione (libera + forzata) non ha nulla a che vedere con la suddivisone della soluzione di una equazione differenziale lineare del secondo ordine ovvero (soluzione omogenea associata + soluzione particolare ) ? C'é qualcosa che suona simile ma non dovrebbero avere nulla a che fare giusto?

Allora, per prima cosa diciamo che è sempre possibile ricondurre una EDO (anche non lineare) di ordine n ad un sistema di n EDO del primo ordine, per cui ti rispondo (senza perdita di generalità, a patto di appesantire le notazioni) in termini di EDO lineare del primo ordine.

Nel formalismo ingresso/uscita, la relazione che intercorre tra l'uscita y(t)

e l'ingresso f(t)

di un sistema LTI del primo ordine è

$\dot{y}(t)+ay(y)=f(t) \qquad (1)$

Posto y(0)=y_0

, la soluzione completa del relativo problema di Cauchy è

$y(t)=y_0 \exp(-at)+\exp(-at)*f(t)$

annullando l'ingresso si ottiene la risposta libera, annullando la condizione iniziale si ottiene la risposta forzata. Dal punto di vista analitico, questo significa che la risposta libera è la soluzione dell'omogenea associata alla (1), mentre la risposta forzata è l'integrale particolare della (1).

La risposta alla tua domanda è pertanto: no, la suddivisione libera+forzata è l'analoga della suddivisione omogenea+forzata.

Invece è corretto affermare che in generale la suddivisione transitorio+regime non è l'analoga della suddivisione omogenea+forzata. Questo perché una volta determinata la soluzione completa, quindi a posteriori,vi si può o meno notare un regime transitorio ed un regime permanente.

Tuttavia, se il sistema è stabile (cioè a>0), allora c'è analogia tra tutte e tre le suddivisioni in quanto la risposta libera, esaurendosi, costituisce il regime transitorio e, conseguentemente, la risposta forzata costituisce il regime permanente (se quest'ultima non si annulla all'infinito).

piu' che di stabilità, i miei dubbi sono arrivati riflettendo sulle prestazioni dinamiche del sistema e ragionando sui limiti che puo' avere la trattazione con la trasformata di Laplace.

Quello che intendevo fare era giustificare il motivo per cui in generale si da' un peso maggiore alla risposta forzata piuttosto che alla risposta libera.

Ad ogni modo, nel caso di sistemi semplici, come quelli LTI del primo e del secondo ordine, ci si "permette il lusso", in quanto la loro matematica è semplice, di studiare anche gli effetti transitori tramite la risposta al gradino del sistema, caratterizzando i tipici parametri come tempo di salita, sovraelongazione, tempo di assestamento ect...

Per sistemi di ordine più elevato si può ricorre all'approssimazione a polo dominante, dove si approssima il sistema in esame con uno del primo o del secondo ordine. Tuttavia se i poli del sistema non sono sufficientemente distanziati tra loro questo approccio restituisce risultati troppo grossolani.

Quindi, per quante ne so io, per tali sistemi, didatticamente parlando, "si lascia perdere" il transitorio e ci si concentra sul regime. Questo viene studiato con gli strumenti dell'automatica classica, come:

diagrammi di Bode;
diagrammi di Nyquist;
luogo delle radici;
etc..

(anche se in realtà questi ultimi si usano più per studiare la stabilità ad anello chiuso di un sistema LTI)

da **stardust79** » 7 apr 2018, 14:27

Ciao a tutti. Dopo ben 4 anni e mezzo rieasumo il post per progredire un attimo ancora.

Mi darete del pazzo ma ci sono voluti 4 anni e mezzo a digerire il post.
Ora ho un'altra domandina. Riprendendo l'esempio della FDT iniziale,

$F(s)=\frac{1}{1+s}$

volevo sapere come mai (per quale regola matematica) i poli per il grafico asintotico si trovano esattamente in corrispondenza delle coordinate immaginarie: vedete esempio delle linee gialle sotto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Grazie ciao.

da **g.schgor** » 7 apr 2018, 15:12

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