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da **PietroBaima** » 24 giu 2014, 15:10

miao

Come li hai risolti?

da **EcoTan** » 24 giu 2014, 15:18

Guardando gli esempi forniti per il bifattoriale, passando da un pari al dispari superiore (nell'esempio da 6!! a 7!!) il risultato aumenta di un fattore che sta in rapporto un po' ballerino con n stesso, comunque diverge con lo stesso ordine di n..

da **PietroBaima** » 24 giu 2014, 15:20

Sì, è un primo passo (giusto!)
Però bisogna trovare il modo di formalizzarlo, purtroppo, altrimenti si rischia di sbagliare.

Però il risultato che hai trovato non è completamente sbagliato, ottimo!

da **DanteCpp** » 24 giu 2014, 17:19

Mi chiedo se sia corretto e in tal caso sufficiente, un ragionamento del tipo:

$\frac{(2n)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n)!!}{(2n+2)(2n)!!}$

da cui:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{(2n+2)} = 0$

sapendo che:

$0 \leq \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} < \frac{(2n)!!}{(2n+2)!!}$

(La disequazione destra è facilmente dimostrabile per assurdo, mentre quella sinistra si fonda sulla definizione di semifattoriale)

per qualunque

naturale, allora per il teorema dei due carabinieri, anche:

$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

tende a zero per grandi valori di

.

da **PietroBaima** » 24 giu 2014, 17:27

Codice: Seleziona tutto: In[1]=Table[{((2 n)!!/(2 n + 1)!!) < (2 n)!!/(2 n + 2)!!}, {n, 0, 10}] Out[1]= {{False}, {False}, {False}, {False}, {False}, {False}, {False}, {False}, {False}, {False}, {False}}

da **gill90** » 24 giu 2014, 17:32

Il risultato non può venire zero: il rapporto tra un termine e il successivo del fattoriale parte da un numero finito e converge a 1, quindi il prodotto tra tutti questi numeri. Se chiamiamo $a_n=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$ , allora $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!!}{(2n+3)!!} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=\frac{2n+2}{2n+3}$ , che per n=0

vale $\frac{2}{3}$ e per $n\rightarrow \infty$ vale 1. Cioè il rapporto alla fine convergerà, ma il prodotto di tutti questi rapporti non può venire nullo poiché parte da $\frac{2}{3}$ e converge verso l'unità (potrebbe venire zero solo se ci fosse uno zero nei rapporti a moltiplicare).

da **PietroBaima** » 24 giu 2014, 17:35

gill90, tu stai applicando il criterio del rapporto, il quale non da alcuna informazione se il limite del rapporto vale 1.

sorry

da **gill90** » 24 giu 2014, 17:54

No aspetta, io intendevo dire che il limite può essere visto come una produttoria di fattori, non stavo dicendo il risultato del limite: siccome $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!!}{(2n+3)!!} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=\frac{2n+2}{2n+3}$ , questo esprime in che correlazione stanno il termine a_n

e il successivo, cioè $a_{n+1}$ sarà a_n

moltiplicato per un fattore che dipende da

stesso, cioè $\frac{2n+2}{2n+3}$ . Ricorsivamente questa formula sarà $a_{N+1}=\prod_{k=0}^{N+1} \frac{2n+2}{2n+3}$ , come si poteva anche vedere espandendo il bifattoriale in prodotti. Siccome per n=0

$\frac{2n+2}{2n+3}=\frac{2}{3}$ e crescendo questo termine tende a diventare uguale a 1 (per $n\rightarrow \infty$ ), volevo solo dire che è impossibile che il risultato del limite venga 0, essendo un prodotto di frazioni minori di 1 e il cui quoziente tende asintoticamente a 1. Poi se ho sbagliato correggimi senza problemi, sono 5 anni che non riprendo in mano esercizi del genere! :mrgreen:

da **PietroBaima** » 24 giu 2014, 18:06

Purtroppo il tuo ragionamento è errato.

Fare il rapporto di un termine della successione con il suo successivo restituisce sì informazioni sull'andamento della successione, ma solo in termini di monotonicità della successione (ci dice se la successione sta crescendo o viceversa).
Per sapere se quella successione converge o diverge possiamo quindi osservare la sua monotonicità verso l'infinito e stabilire se diverge o converge.
Purtroppo se la successione non fa nessuna delle due cose (sempre verso valori grandi di n) il rapporto tende ad uno (come in questo caso) e il valore finale dipende dalla storia della successione e non è direttamente determinabile con quel criterio.
Purtroppo è quello che perfidamente succede in questo caso.

Confronta anche qui.

da **PietroBaima** » 24 giu 2014, 18:27

1st HINT

sedetiam ha scritto:tip:

aiuta considerare l'identità:

$(2n)!!=2^{n}n!$

e anche che

$\boxed{(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}}$

Per gli interessati ecco la spiegazione:

Dalla definizione di semifattoriale segue che:

$n!! \cdot (n-1)!!=n!$

quindi anche

$(2n)!! \cdot (2n-1)!!=(2n)!$

ma

$(2n)!!=2^{n}n!$

quindi

$2^{n}n! \cdot (2n-1)!!=(2n)!$

$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$

$(2n+1)(2n-1)!!=\frac{(2n+1)(2n)!}{2^{n}n!}$

$(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}$

(Per farla lunga e fare tutti i passaggi)

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