[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

[fairyvilje]

No. Ho cercato degli scalari che rendessero vera l'uguaglianza. Questo si fa sistematicamente risolvendo un sistema di equazioni ma a questo livello non importa il metodo.
Il concetto è "quali valori di devo prendere per verificare l'uguaglianza?"

Edit:
Mi viene un dubbio. Avete visto a lezione le operazioni di addizione fra vettori e moltiplicazione per uno scalare?

[boiler]

Si definisce combinazione lineare di , e la seguente somma:

dove , e sono numeri reali.

La definizione di indipendenza lineare dice che , e sono linearmente indipendenti se e soltanto se il risultato della somma è il vettore nullo esattamente per .

Questo significa che se esiste un'altra tripletta di numeri reali che ci permette di ottenere il vettore nullo, allora i vettori non sono linearmente indipendenti.

Concretamente:


Spostando un po' di roba otteniamo:



Le frazioni che abbiamo come coefficiente sono ancora numeri reali, quindi possiamo sostituire (per rendere la lettura piú gradevole):

dove ovviamente e

In soldoni, abbiamo espresso come una somma di e scalati opportunamente.

Ora prendiamo le componenti dei vettori:




È il sistema di equazioni che fairyvilje ha risolto per trovare i coefficienti che in [8] non ti sono chiari (beh, forse l'ha visto a occhio ).

Boiler

[TardoFreak]

Grazie

[fairyvilje]

Purtroppo le mie capacità didattiche sono decisamente limitate, mi dispiace di peccare in chiarezza .
Spero almeno che con l'intervento di boiler sia più evidente il concetto.

Concludo con il consiglio di chi ci è già passato zoppicando. Questa materia più andrai avanti più ti apparirà astratta. Probabilmente alcuni dei concetti saranno molto al di fuori dell'intuizione che potrai avere quando te li presenteranno la prima volta. Tuttavia ti invito a studiarla con molta attenzione non solo per "passare l'esame". Tutto ciò che vedrai in algebra lineare ritornerà di cattiveria quando si parlerà di fisica, grafica 2D e 3D, algoritmi di vario genere, e millemila altre applicazioni. Avere chiari i concetti di questa materia ti semplificherà enormemente la vita :).

[simo85]

Prendi ad esempio questi tre vettori:



Riesci a scrivere il vettore come combinazione lineare di e ? O qualsiasi dei tre come combinazione degli altri due ?

O con questi:

?

Concludo con il consiglio di chi ci è già passato zoppicando. Questa materia più andrai avanti più ti apparirà astratta.

Io ad un certo punto del corso sognavo gli spazi vettoriali ..

Tutto ciò che vedrai in algebra lineare ritornerà di cattiveria quando si parlerà di fisica, grafica 2D e 3D, algoritmi di vario genere, e millemila altre applicazioni.

Vero !

[TardoFreak]

Sai qual è il problema? Cerco di spiegarmi.
L'anno scorso ho seguito a fondo tutte le lezioni e riuscivo a fare tutto quello che era richiesto semplicemente eseguendo bovinamente le "istruzioni".
Per carità, potrebbe anche andare bene in un'ottica di "passo l'esame e me lo levo dai coyotes" ma, visto che faccio questa cosa per soddisfazione personale, non mi basta fare quello che mi dicono di fare anche se non capisco il perché. Io devo capire i concetti, altrimenti riprendo a studiare musica dove basta ripetere gli esercizi fino allo stremo, studiare quattro regole delle balle, un minimo di geometria della musica ed è tutto fatto.
Ad esempio, questi vettori,
Non hanno senso se non sono in un sistema di equazioni. Quindi perché non si scrive chiaramente questo maledetto sistema di equazioni (in modo che anche un deficiente lo possa riconoscere), lo si riduce, si arriva ad una conclusione e si dice "ecco, se succede questo vuol dire che è cosi", ma soprattutto "e questo porta a queste conseguenze".

Comunque grazie per l'aiuto, davvero, grazie mille per lo sforzo!

Domani con calma proverò a capire cosa c'è dietro questa mxrda di semplificazioni e di cose date per scontate del caxxo.

Buona notte.

[simo85]

Quindi perché non si scrive chiaramente questo maledetto sistema di equazioni (in modo che anche un deficiente lo possa riconoscere), lo si riduce, si arriva ad una conclusione e si dice "ecco, se succede questo vuol dire che è cosi"

Avrei potuto dirti semplicemente che se il determinante della matrice è 0 significa che ... o differente da 0 significa un'altra cosa.

Ma sarebbe stato affontare il problema nell'ottica:

"passo l'esame e me lo levo dai coyotes"

Almeno secondo il mio punto di vista.

PS: non ti stressare. Riposati e domani ci tornerai su.

[fairyvilje]

Ad esempio, questi vettori,
Non hanno senso se non sono in un sistema di equazioni. Quindi perché non si scrive chiaramente questo maledetto sistema di equazioni (in modo che anche un deficiente lo possa riconoscere), lo si riduce, si arriva ad una conclusione e si dice "ecco, se succede questo vuol dire che è cosi", ma soprattutto "e questo porta a queste conseguenze".

Allora dovresti procedere così. Se ti trovi familiare con i sistemi di equazioni lineari riconduci i problemi coi vettori a questi. I motivi per cui lavorare con i vettori sia vantaggioso sono innumerevoli, ma se lo scopo è capire nessuno ti vieta di riferirti a concetti più chiari :).
Notte :).

[TardoFreak]

Oh beh, mi basterebbe anche solo arrivare a capire chiaramente che la definizione di "linearmente indipendente" è solo una definizione. Quindi avrebbe potuto benissimo chiamarsi "armando" o "essere lucentemente trasversali" o "avere la propria carbonponzia". Il che significa utilità e senso pratico uguali a zero, impieghi: uno solo, quello di introdurre la prossima definizione.
Una storia simile a quella dei reticoli

'notte

[DarwinNE]

Provo a fare un esempio un po' più pratico (però parlo anche di basi di spazi vettoriali, spero di non confonderti le idee se non hai ancora visto tutto questo).

Come ben sai, se devi disegnare un pixel sullo schermo con un colore che ti piace, devi specificarne le tre componenti RGB. Se io chiamo R il rosso; G il verde; B il blu, posso scrivere ogni colore che desidero mostrare come una combinazione lineare di questi tre vettori di base. Per esempio, se voglio un bel viola posso dare un coefficiente alto ad R e B e basso a G (poi ovviamente, c'è da specificare cosa vuol dire "alto" e "basso", ma per il momento non ce ne occupiamo).
Ora, per via del fatto di come funziona il nostro occhio, possiamo specificare quasi ogni colore come una combinazione lineare di questi tre "vettori" di base.

Se però un giorno viene fuori un mutante capace di vedere (che ne so) nell'infrarosso perché negli occhi ha un sensore in più, per esempio, a 1100nm di lunghezza d'onda, ecco che potrà vedere tutti i colori "nostri", ma anche qualcuno in più che non si potrà scrivere come una combinazione lineare di R, G e B. Se chiamiamo questo colore "ultrarosso", abbiamo bisogno ALMENO di un vettore in più. Ogni "ultracolore" comprendente un po' di "ultrarosso" non potrà essere scritto come combinazione lineare unicamente di R, G e B e sarà quindi linearmente indipendente da essi.