ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **rugweri** » 4 feb 2018, 15:33

DarwinNE: il link che hai proposto fa riferimento a questa lezione, che definisce esattamente i fasori rispetto alla serie di Fourier come proponeva

IsidoroKZ

Sono sempre più contento di aver aperto questo topic: i vostri consigli stanno risolvendo un dubbio che mi perseguita da un bel po' di tempo iOi

da **DanteCpp** » 4 feb 2018, 17:21

Vedere i fasori come coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier trova riscontro in ciò che può essere fatto per determinare la risposta di un circuito/sistema lineare ad un segnale qualsiasi.

1) Prendere un segnale periodico complicato a piacere (sviluppabile in serie di Fourier)
2) Scomporlo nelle sue componenti armoniche
3) Per ogni armonica analizzare la risposta del sistema al fasore equivalente
4) Sommare le risposte ad ogni frequenza per ottenere il risultato finale (linearità)

Se la serie di Fourier è convergente i coefficienti devono tendere ad annullarsi, quindi per ottenere una risposta al segnale complicato, che rientri nell'incertezza desiderata, non sarà necessario sommare tutte le risposte armoniche.

da **IsidoroKZ** » 4 feb 2018, 18:14

In quasi tutta l'elettrotecnica elementare, quando si tratta il regime periodico, lo si fa in sistemi lineari a frequenza singola, per cui tutte le componenti hanno la stessa frequenza e serve solo il primo coefficiente complesso della serie.

da **DanteCpp** » 4 feb 2018, 18:27

ok, volevo solo dire che il caso più complesso può essere ricondotto ad una serie di casi elementari.
Penso sia un buon modo per vedere le relazioni tra la scomposizione in serie di Fourier e l'analisi fasoriale. Ma come al solito mi sbaglio! :mrgreen:

da **rugweri** » 4 feb 2018, 20:30

Ora mi sembra tutto chiarissimo :ok:

Provo a ricapitolare in modo sistematico:

Sappiamo che un segnale periodico può essere rappresentato come somma di armoniche in serie di Fourier:
$\zeta(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}\mu_n e^{\frac{j2\pi nt}{T}}$
Dove i coefficienti sono calcolati con l'espressione:
$\mu_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\zeta(t)e^{-\frac{j2\pi nt}{T}}dt$
I termini $c_n = \mu_n e^{\frac{j2\pi nt}{T}}$ costituiscono di fatto ([1], [2]) un insieme infinito di vettori (i fasori, appunto) che ruotano con la velocità angolare $\omega = \frac{2\pi n}{T}$ ; ruotando, i fasori descrivono l'andamento della funzione nel tempo (l'immagine interattiva di [2] cui faceva riferimento

banjoman lo mostra egregiamente).

Un caso particolare è quello di un segnale sinusoidale: i suoi fasori sono tutti nulli, tranne quello con n = 1

e quello con n = -1

, i cui coefficienti per la sinusoide $f(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ valgono rispettivamente $\frac{A}{2}e^{j\phi}$ e $\frac{A}{2}e^{-j\phi}$ .
Ora, si può ragionare come proposto da

IsidoroKZ: per una sinusoide l'informazione "utile" è tutta contenuta nella parte dello spettro a frequenza positiva (lo spettro di una sinusoide è pari!), quindi ha senso ritenere che la sinusoide sia completamente descritta dall'unico fasore a frequenza positiva che ha, ovvero quello con coefficiente $\mu_1 = \frac{A}{2}e^{j\phi}$ (*). Volendo semplificare ancora di più la rappresentazione della sinusoide, possiamo dire che, nota la sua pulsazione, di fatto per rappresentare il segnale ci bastano le informazioni contenute nel coefficiente del fasore.

Benissimo, siamo arrivati a definire da dove arrivano i fasori. Ma il fasore che abbiamo ottenuto per la sinusoide è esattamente la metà di quello solitamente usato! Come conciliare tutto questo?
Ritengo sia corretto notare che, se le informazioni della sinusoide sono racchiuse in quel solo fasore c_1

che abbiamo visto prima, egualmente sono racchiuse nel fasore 2c_1

; in altre parole, assodato che possiamo rappresentare la sinusoide con quel solo fasore, mi pare sensato definire la trasformazione:
$x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \rightarrow X = 2c_1 = Ae^{j\phi}e^{j\omega t}$
Che si può scrivere nella forma della trasformata di Steinmetz citata anche da

fpalone:
$X = 2c_1 = \left[\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt\right]e^{j\omega t}$

Che ne dite, vi pare un ragionamento coerente?

(*)Generalizzando, possiamo dire - e in [1] viene detto esplicitamente - che ogni segnale reale è rappresentabile dall'insieme dei suoi fasori a frequenza positiva o nulla, perché per ogni segnale reale $\mu_{-n} = \mu_n*$ .

[1] http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/h ... ml#serie_F

DarwinNE
[2] https://jackschaedler.github.io/circles ... ction.html

banjoman

da **DarwinNE** » 5 feb 2018, 0:20

Bravo

rugweri, ho letto rapidamente e mi sembra non male.
Per il fatto di lavorare con le sole frequenze positive, anche qui ci arriva in aiuto la teoria dei segnali in cui si parla di segnale analitico e si usa anche la trasformata di Hilbert (per esempio http://www.tlc.polito.it/~gaudino/com_e ... tolo_4.pdf che però ho letto solo in diagonale). Da studente, mi ci è voluto un po' per capire che si chiamavano con nomi diversi delle cose che avevo già visto in elettrotecnica.

Aggiungo che la notazione fasoriale è utile con i circuiti che sono trattabili con la trasformata di Fourier. Se il circuito è non lineare, va a tutto a monte, salvo in quei (per fortuna numerosi) casi in cui è legittimo linearizzare il circuito attorno al punto di funzionamento e quindi adottare un'analisi di piccolo segnale.

Anche il concetto di impedenza complessa è strettamente legato alla rappresentazione fasoriale (e quindi alla trasformata di Fourier) ed a sua volta è valido solo per bipoli lineari o linearizzabili.

da **rugweri** » 5 feb 2018, 0:32

Ecco, la trasformata di Hilbert non la conoscevo proprio #-o

Tra l'altro, noto che essa ed il concetto di segnale analitico formalizzano la dimostrazione che aveva scritto

Ianero... mi piace quando le cose quadrano :mrgreen:

da **marc96** » 5 feb 2018, 16:28

banjoman ha scritto:Questo Le animazioni sono davvero ben fatte

Una domanda fuori tema: sapete con quale linguaggio ( javascript?) e in quale ide si possono fare queste splendide animazioni? Conosco flash, un ambiente grafico straordinario, ma purtroppo è in dismissione e comunque troppo costoso con Adobe.

da **xyz** » 5 feb 2018, 18:01

marc96 ha scritto:Una domanda fuori tema: sapete con quale linguaggio ( javascript?)

Si Javascript per HTML5, queste librerie:

https://d3js.org

e un editor di testo.

da **marc96** » 5 feb 2018, 20:21

Grazie. Gli esempi sono ben fatti.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Teoria dietro ai fasori?

[11] Re: Teoria dietro ai fasori?

[12] Re: Teoria dietro ai fasori?

[13] Re: Teoria dietro ai fasori?

[14] Re: Teoria dietro ai fasori?

[15] Re: Teoria dietro ai fasori?

[16] Re: Teoria dietro ai fasori?

[17] Re: Teoria dietro ai fasori?

[18] Re: Teoria dietro ai fasori?

[19] Re: Teoria dietro ai fasori?

[20] Re: Teoria dietro ai fasori?

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits